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 cire tlaiis un plan j = const. Considérons alors la courbe algébrique 

 f{x, y, z) = o, correspondant à la relation algébrique entre x et z. 



» Il faut étudier la déformation des cycles relatifs à celte courbe quand 

 le paramètre y varie. 



» Formons à cet effet une intégrale de seconde espèce (pour y arbi- 

 traire) de la courbe précédente et qui soit de la forme 



W J Â ' 



où F est rationnelle en a-, y et z. Les périodes de l'intégrale (I) sont des 

 fonctions de y, satisfaisant à une équation linéaire dont les coefficients 

 sont des polynômes en y. Soient 



W , COj 



■ip 



un système de périodes de l'intégrale (I), en désignant par p le genre de 

 /{x, y, z) = o. Quand j décrira tous les chemins possibles dans son plan 

 en revenant à son point de départ, les co se transforment en Î2. el l'on a 



(S) o, = m', to, + m'^o^. -l-... + m',^,aj.p (i =1,2, ..., 2p), 



les m étant des entiers, et ces substitutions (S) correspondront au groupe 

 de l'équation linéaire. Les équations (S) peuvent se lire sous forme géo- 

 métrique; elles indiquent, si C,, C. C^p indiquent les cycles corres- 

 pondant aux périodes co,, u., . . ., o).^, que le cycle C, s'est déformé avec 

 la variation de y et s'est transformé en une somme de m\ fois le cycle C, 

 plus mi fois le cycle Co. plus, etc. Si donc maintenant on envisage une inté- 

 grale de l'espace à quatre dimensions comme on en considère dans l'Ana- 

 lysis situs, et que P, désigne sa période relativement au cycle C,, on aura 



(n) Vi=m\V,^m'.^V,+...+ m'^^,\\ (i = i, 2, . . .,2p), 



et à chaque substitution du groupe correspondront 2/? équations de cette 

 forme. Il arrivera en général que l'ensemble des équations (n) donnera pour 

 tous les P des valeurs nulles, et nous retombons sur ce fait que tous les 

 cycles se réduisent à zéro, c'est-à-dire />, = i. Mais il pourra arriver que 

 les équations (II) soient vérifiées autrement qu'en annulant tous les P. 

 Supposons que de l'ensemble de ces équations on puisse tirer 2p — r des 

 quantités P en fonction des r autres restant arbitraires; il est clair que les 

 périodes P pourront certainement se réduire à r d'entre elles, et, par suite, 

 le nombre des cycles linéaires distincts de la surface sera au plus égal à r. 



