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 » Nous n'avons jusqu'ici qu'une limite supérieure du nombre des pé- 

 riodes, c'esl-à-dire de p, — i; on peut aller plus loin et montrer que l'on a 

 p, =/•+!. 



» 6. Pour établir ce point, nous considérons 2p intégrales distinctes I,, 

 1.,, . . .,ï.,p analogues à I, et nous allons chercher si l'on peut déterminer des 

 fonctions rationnelles a,, 02, .... a.,p de y, de telle sorte que les périodes 

 de l'intégrale 



a,I, -+- aJi-h. . .+ a.plip 



ne dépendent pas de j. Soient w^, w^, . . ., to^^ les 2/j périodes de I^; nous 

 avons à écrire les zp équations 



a,<^l -h a^ojl-i- . . .+ a.,p(^-'' = P^ (/{:= 1, 2, .., ip), 



les P étant des constantes. Supposons que ces constantes satisfassent à 

 l'ensemble des équations (n); il est facile de voir que les ip équations 

 précédentes déterminent pour les a des Jonctions rationnelles de y. Posons 

 alors 



a,\,-^ aA2+. ..+ a.,p\.,p^ l Rcte, 



où R est rationnelle en x, y, z. Je démontre maintenant qu'on peut former 

 une intégrale de différentielle totale 



(3) fRdx-hSdy. 



où S sera, comme R, rationnelle en a;, j et :■; de plus cette intégrale est de 

 seconde espèce. 



» L'intégrale (3) de seconde espèce que nous venons de former a r pé- 

 riodes arbitraires. Nous allons tirer de là une conséquence importante; 

 puisque l'intégrale (3) a /-périodes, il n'est pas possible que l'on ait 



car alors quelqu'une des périodes proviendrait d'un cycle réductible à un 

 cycle nul, ce qui n'est pas possible, l'intégrale étant de seconde espèce. 

 Nous avons donc l'égalité annoncée 



