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surface (S) et ne croissant pas indéfinimenl lorsque l'étendue de cette 

 surface décroît indéfiniment suivant une loi convenable. 



» 2° Si l'on désigne par D^v une des dérivées secondes de la fonction v, 

 prise par rapport aux variables x, y et :;, on aura 



B 



D,c 



2' 



P- 



la constante B jouissant des propriétés analogues à celles dont jouit la 

 constante A. 



» 3° L'intégrale 



fff^ 



étendue à tout le domaine limité par la surface (S) ne dépasse jamais en 

 valeur absolue une constante positive C dépendant uniquement de la na- 

 ture de la surface (S). 



» J'ai déjà eu l'occasion de démontrer le premier do ces trois théo- 

 rèmes dans un article rappelé plus haut, mais je me suis borné alors au 

 cas d'une surface convexe. 



» Je me suis assuré depuis que l'on peut aisément établir chacun des 

 théorèmes précédents, en supposant seulement que la surface (S) admette 

 en chacun de ses points un plan tangent déterminé, qu'elle soit simple- 

 ment connexe et qu'elle jouisse, en outre, de la propriété suivante : pre- 

 nons pour origine des coordonnées un point quelconque O situé sur la 

 surface (S) et pour axe des z la normale en O, et soit 



z = F(x,y) 



i'équation de la surface dans le voisinage du point O ; nous supposerons 



que la fonction F{x,y) admet les dérivées finies et déterminées jusqu'au 



troisième ordre inclusivement pour toutes les valeurs de x el y satisfaisant 



à l'inégalité 



x--i-y-<.b\ 



la longueur S étant indépendante de la position du point O sur la sur- 

 face (S). 



» La démonstration des théorèmes qui nous occupent repose sur ce fait , 

 que la fonction v, regardée comme fonction des trois variables x, y et z 

 peut être considérée comme le potentiel d'une couche simple répandue sur 

 la surface (_S). Envisagée ainbi, la fonction v existe dans tout l'espace et 



