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 rappelant celle qu'a donnée I^aplace pour les équations linéaires aux dé- 

 rivées partielles du second ordre. 



)) Soit E l'équation donnée; prenons l'équation correspondant à la 

 dernière ligne du déterminant fondamental de E. Soit E, ; puis l'équation 

 correspondant à la première ligne du déterminant fondamental de E,; 

 soit E,; opérons sur Ej comme sur E,, et ainsi de suite. 



» Nous formerons une suite infinie 



E, E, , Eo, .... Eo„ 



OH 



E,-=r.W-i- a,-::'«-')-f ... ; liZ.=^o. 

 » Si z.,,, désigne une solution de En,, et z une solution de E, on a 



i d \ d I d ^ 



"' ~ T^ dl l-i" "dl /2„_, r?i"-"' 



ce qui montre que, lorsqu'on connaît une solution de l'équation E,,,, on 

 peut en déduire une solution de E. Un cas intéressant est celui qui se pré- 

 sente lorsque, dans la suite correspondant à l'équation E, on retrouve une 

 équation identique à E. 



» Si, par exemple, la première équation identique à E est Eo^^., , on éta- 

 blit facilement que, dans la suite, il y a une équation qui a la propriété 

 d'être identique à son adjointe de Lagrange; si cette première équation est 

 £4,1+3, on établit que, dans la suite, il y a une équation qui a la propriété 

 d'être identique à l'équation correspondant à la première ligne de son dé- 

 terminant fondamental. 



» Enfin, si cette équation est Eo„, la suite est périodique, et l'on peut 

 généralement intégrer la proposée par des quadratures. 



» On montre, en effet, que l'équation 



\ d \ d 1 d ^ 



/i di /j dL lin-\ d.t " 

 ou 



H(.) = .. 



a, pour une valeur numérique convenable de s, une solution commune 

 avec l'équation E 



» En exprimant cette condition, on a une équation algébrique en s de 

 degré n. Comme on peut former l'équation du premier degré admettant la 

 solution commune, on voit qu'on aura les n solutions par « quadratures si 



