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ANALYSU: MATHÉMATIQI'E. — Sur une nouvelle méthode d' exposition de la 

 théorie des fonctions thêta, et sur un théorème élémentaire relatif aux Jonc- 

 tions hypereUiptiques de première espèce. iXote de M. F. Caspary, pré- 

 senlée par M. Hermite. 



« Depuis la publication du célèbre Mémoire de Jacobi Sur la rotation 

 d'un corps, plusieurs géomètres ont appliqué les fonctions thêta d'un seul 

 et de deux arguments à la résolution des problèmes de Mécanique. 



» Leurs recherches ont prouvé que l'on peut représenter, au moyen des- 

 dites fonctions thêta, les quinze quantités qui déterminent le mouvement 

 d'un corps solide, savoir les neuf cosinus des angles formés par les axes 

 fixes et mobiles, et les six composantes de la vitesse de rotation par rap- 

 port à ces axes. 



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» En poursuivant les recherches de M. Hermite dans son Ouvrage Sur 

 quelques applications des fonctions elliptiques, j'ai trouvé que les résultats 

 que je viens de rappeler, appartenant à la Mécanique, se présentent comme 

 conséquences de propositions d'Analyse très générales. Au moyen des dé- 

 couvertes dues à M. Hermite et en profitant des transformations du second 

 degré, j'ai été conduit à ce résultat : On peut former, au moyen des fonctions 

 thêta d'un nombre quelconque d'arguments, des expressions qui sont précisé- 

 ment égaies aux neuf coefficients «,„„(m, « = i , 2, 3) d'un système ortho- 

 gonal dont le déterminant est l'unité positive, et aux six quantités différen- 

 tielles 



Ph = — («lA '/«./ -+- «2A du.,i + «3A da.,i) / h^k^l 



] h, k, i =^ 1,2,3 



I ( =3,1,2 



où les arguments qui entrent dans les expressions formées par les fonctions 

 thêta restent quelconques. 



» Ce théorème s'applique à la théorie des fonctions thêta au moyen des 

 identités qui ont lieu entre les quantités «,„„, da,,,,,, p,,, ^'h «t, par consé- 

 quent, aussi entre les quantités d'^' a,„,„ d'p/,, d''v/,(r =1,2,...). Ces iden- 

 tités, algébriques et différentielles, existent en très grand nombre et appar- 

 tiennent à la Cinématique. On en doit les phis fondamentales à Euler, à 



