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M Une intégrale de cette équation, continue ainsi que ses dérivées par- 

 tielles des deux premiers ordres à l'intérieur d'un contour fermé, est déter- 

 minée par ses valeurs sur ce contour, pourvu que celui-ci soit suffisamment 

 petit. Tel est le premier théorème que j'ai établi; je l'ai depuis approfondi 

 en faisant l'hypothèse que les coefficients A, B, . . . , F sont des fonctions 

 analytiques de x et de y. Tl est naturel de se demander si toute intégrale 

 de l'équation, continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers 

 ordres dans la région considérée du plan, est aussi une fonction analy- 

 tique. La réponse est affirmative; c'est ce que je montre en recourant à l'ex- 

 pression de l'intégrale sous forme de série, telle qu'elle m'est donnée par 

 les approximations successives qui ont joué dans mes recherches un rôle 

 essentiel. 



» 2. Nous allons maintenant supposer que l'équation ne renferme pas 

 de terme en u, c'est-à-dire que le coefficient F soit identiquement nul. 

 Prenons donc l'équation 



/s là'" r> à"-'! r^à-ll T\àl' r du 



(2) A^-^ + aB-; — r- + C^— 7 4- aD^ t-2E-Y- = o. 



^ ' aa:^ uj; oy aj^ dx Oy 



» On peut démontrer à ce sujet un théorème très précis. Ici, en effet, 

 quand il s'agit de la détermination d'une intégrale par ses valeurs le long 

 d'un contour fermé, on n'a plus à se préoccuper des dimensions du con- 

 tour ; dans la région du plan oii B- — AC est négatif, il ri y a qu'une intégrale, 

 continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres, prenant une 

 succession donnée de valeurs sur un contour fermé. 



» On établit ce résultat en montrant que toute intégrale ne pourra pos- 

 séder ni maximum ni minimum. Soit, en effet, (.Tj, j'„) un système de va- 

 leurs de X et y qui correspondrait à un maximum ou un minimum. Nous 

 pouvons développer l'intégrale m, qui est une fonction analytique, d'après 

 la formule de Taylor 



" = ?o + ?n('^ — ^0. r — Ja) + ?«+f (J-- — -2-0, J - Jo) + • • • - 



et l'on a rt^2. Substituant cette valeur de u dans l'équation (2), on aura 

 nécessairement 



en désignant par A„, B„, C,, les valeurs de A, B, C pour x = x^, y =^ y^; 

 on a d'ailleurs, par hypothèse, Bj; — AoC„<^o. Le polvnôme cp„ satisfait 



