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 donc à une équation analogue à -celle de J^aplace, à laquelle d'ailleurs il 

 se ramènera encfTectuant un changement linéaire de variables; la fonction 

 (p„ pourra donc s'annuler en changeant de signe. Il est donc impossible que 

 u ait un maximum ou un minimum pour ce = ccg, y =y<,- On en conclut de 

 suite le théorème énoncé. 



» Occupons-nous maintenant de la recherche de celte intégrale unique 

 prenant sur un contour une succession donnée de valeurs. D'après le Mé- 

 moire cité plus haut, nous savons la trouver si le contour est suffisamment 

 petit. Pour passer à un contour quelconque, il suffit de montrer que le 

 procédé alterné de M. Schwarz peut être étendu à l'équation (2). Nous 

 supposons donc que l'intégration de l'équation ait été faite pour deux con- 

 tours C et C, ayant une partie commune, et nous nous proposons de mon- 

 trer qu'elle pourra être effectuée pour le contour limitant extérieurement 

 l'ensemble des deux aires. Désignons par p la partie du contour C inté- 

 rieure à C, et par a. la partie extérieure, et soit de même pour oc' et ^'. Nous 

 pouA'ons supposer que les valeurs données de u sur a et a' sont positives, 

 puisque u n'entre pas dans l'équation. 



» Ceci posé, nous intégrons l'équation en considérant le contour C et 

 formant l'intégrale, qui sur a. prend les valeurs données et s'annule sur 

 p; soit M, cette intégrale. On intègre ensuite l'équation en considérant le 

 contour C et formant l'intégrale u\, qui prend sur «,' les valeurs données 

 et sur p' les mêmes valeurs que u, . Nous revenons alors à C et formons l'in- 

 tégrale Ho prenant sur a les valeurs données et sur [î les mêmes valeurs que 

 u\, et nous continuons ainsi indéfiniment. Tous les u et les u' sont évidem- 

 ment positifs et inférieurs à g et l'on a sur P' 



W,<Ho< ...<«„< ... 

 et pareillement sur p 



"', < "'2 < ■ • • < "'n <■■■ 



» Il est donc clair que m„ tend vers une limite déterminée en tous les 

 points de p', et w,^ vers une limite déterminée en tous les' points de p. Les 

 fonctions u,^ et «'„ ont des limites U et U' déterminées respectivement à 

 l'intérieur de C et de C. Ces deux fonctions U et U' satisfont à l'équation 

 proposée, et elles coïncident à l'intérieur de l'aire limitée par p et [3', c'est- 

 à-dire de l'aire commune à C et C. A l'aide des deux fonctions U et U', 

 nous obtenons donc l'intégrale cherchée de l'équation (2). 



» 3. C'est l'absence du terme en u dans l'équation (2) qui nous a per- 

 mis de démontrer l'impossibilité d'un maximum ou d'un minimum pour 



