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toute intégrale. Si l'on reprend l'équatio.n complète (i), il semble qu'il ne 

 subsiste rien des raisonnements du paragraphe précédent. On peut cepen- 

 dant établir un résultat très général, qui comprendra d'ailleurs le précé- 

 dent comme cas particulier. 



» Dans la région considérée du plan (B- — AC <^ o), A et C sont évi- 

 demment de même signe; je dis que si le coefficient F est de signe contraire 

 à k et C, une intégrale sera complètement déterminée par ses valeurs le long 

 d'un contour fermé. 



» Pour abréger, nous allons indiquer la démonstration pour l'équation 



à- Il ô' u ,^ du „ du ,, 



1—; -h -,— r -+-aD-i 1-2E-; — \-\ u = o. 



ûx- Oy- ax ay 



F, par hypothèse, est négatif et ne s'annule pas dans la partie du plan que 

 nous étudions. 



» Nous devons montrer d'abord qu'une intégrale u continue ne'peut s'an- 

 nuler le long d'un contour fermé sans être identiquement nulle. La fonction u 

 gardera un signe invariable dans le contour ou bien s'annulera le long de 

 certaines lignes ; dans le second cas, l'aire se trouvera partagée en plusieurs 

 aires partielles, sur le périmètre desquelles l'intégrale s'annulera en gar- 

 dant à l'intérieur un signe invariable. Prenons l'une d'elles, et supposons u 

 positif à l'intérieur. Pour un point au moins (ir„, y„), u devra jiasser par 

 un maximum; soit «„ la valeur de u en ce point. En développant u, nous 

 avons 



u = U„ -+- U„(.T — ..{■„ , r — J-„ ) + u,,^ I (^ — 'i^'o . J — Jo ) + ■ • • • 



n, qui est plus grand que l'unité, doit être nécessairement égal à deux; 

 car, dans le cas contraire, l'ensemble des termes constants dans l'équa- 

 tion, après la substitution, se réduirait à F„M(,, en désignant par F„ la va- 

 leur de F pour (sc^, jo ), et l'on devrait avoir «„ = o, ce qui est absurde. 

 Nous avons donc n = 2, et la substitution donne 





or, soit 



u., = :,.{x — x,y + i^{x - x^){y - Vo) + t(7— Vo)'. 



l'équation précédente se réduit à 



2(a-f-Y) -|-F„M„ = o. 



