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D'ailleurs, a el y sont de même signe, puisque (d^o» Vo) correspond à un 

 maximum de la fonction. D'autre part, ii„ est positif et F„ négatif; donc a 

 et Y sont positifs. Mais il y a là une contradiction, car alors w,, serait pour m 

 non un maximum, mais un minimum; le théorème est donc établi. L,es 

 mêmes considérations démontrent que, si u est positif et inférieur à une 

 quantité g sur un contour, on aura aussi à l'intérieur ii <^ g. 



» Le procédé alterné peut encore être employé ici avec succès. Pour le 

 montrer, supposons d'abord que la succession donnée des valeurs soit po- 

 sitive. Nous pouvons faire les raisonnements du n° 2. Ceux-ci ne s'ap- 

 puvaient pas, en effet, d'une manière nécessaire sur l'impossibilité d'un 

 maximum ou d'un minimum, mais sur le fait suivant : quand deux inté- 

 grales Il et V sont telles que le long d'un contour on ait 



il en est encore de même de l'intérieur du contour. Ceci revient à dire que, 

 si une intégrale est positive ou nulle sur un contour, elle sera positive ou 

 nulle à l'intérieur. Il en est bien ainsi; car, si la fonction devenait néga- 

 tive, elle aurait un minimum «o pour un certain système de valeurs (x„, y g), 

 et Ug serait négatif. Reprenant alors les notations précédentes, nous avons 

 encore 



2(a -h y) -i-F„i/o= o- 



égalité qui nous montre que v. et y sont négatifs; (^o» Jo) correspondent 

 donc à un maximum, ce qui est absurde. Ajoutons que cette intégrale, 

 positive ou nulle sur un contour fermé, ne pourra pas s'annuler à l'inté- 

 rieur; car, si elle s'annule pour (Xgyjg), ce point correspondra à un 

 minimum. Mais, d'autre part, la substitution dans l'équation donne 



à- ii„ d- a,: _ 



ce qui implique encore contradiction. 



)) Nous avons supposé que la succession donnée des valeurs était posi- 

 tive. Il n'y a aucune difficulté pour le cas général, puisque nous pouvons 

 maintenant, par un changement de fonction, revenir au cas où il n'y a pas 

 de terme en u. Soit, en effet, z une intégrale de l'équation restant positive 

 (et non nulle) dans le contour et un peu en dehors; nous venons de voir 

 qu'il existe de telles intégrales. Nous n'aurons qu'à poser u = zi>, pour 

 avoir une équation en v rentrant dans le type étudié au n° 2. 



