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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations linéaires aux dérivées 

 partielles. Note de M. A. Petot, présentée par M. Darboux. 



« Soient G et G' une équation de Laplace et son adjointe 



(i) . . + a T — ho-T-+c>. = o, 



^ •^ ou di> au dv 



/ \ d^i). d'j. j dii- ( da db\ 



^ ' dudi' au di' \ au dv J ^ 



» Quand on connaît l'intégrale générale de l'une de ces deux équa- 

 tions, on sait en déduire celle de l'autre. Dans le cas où G est relative au 

 système conjugué formé par les lignes de courbure d'une surface, je vais 

 montrer que, sans connaître son intégrale générale, on peut déduire im- 

 médiatement de chacune de ses solutions particulières une solution corres- 

 pondante de son adjointe; et inversement. 



» Supposons, en effet, que l'équation G admette quatre solutions >.,, \„, 

 I3, 1,.,, liées par la relation 



(3) i^^il^y^ = -^^ 



et désignons par O4 le déterminant (l, -j^, c-^, -~, -r~)- Les expressions 



">-,, ^2. ^'3> ^-4 peuvent être considérées comme les coordonnées homogènes 

 d'un point de la sphère de rayon un, et aussi comme les coordonnées de 

 son plan tangent; par suite, pour cette sphère, dans le système (u, c), les 

 deux équations relatives, l'une aux coordonnées ponctuelles, l'autre aux 

 coordonnées tangentielles, se confondent avec G. Si maintenant on rap- 

 proche ce fait des théorèmes énoncés par M. Darboux dans le para- 

 graphe 405 de son Cours, on obtient le premier résultat suivant : 



» L'équation G' a les mêmes invariants que celle à laquelle satisfait le déter- 

 minant 0^ ; par suite, à chaque solution 1 de G en correspond une u. de G', 

 donnée par la formule 



(4) [^- = 0,,<?, 



où (p est une certaine fonction de u et v, dont la détermination exige seulement 

 une quadrature. 



» On sait, d'ailleurs, que toute expression (//z, n), 



(5) 6=.A^+B,^+...-+-B,„^+C.^+... + C„^, 



