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définie, à un facteur près, fonction de u et c, par la condition de s'annuler 

 quand on y remplace \ par l'une quelconque des solutions).,, \.,, ..., 

 \n+,i de l'équation G, vérifie une équation de Laplace 



^^^ du à. + [" d~) 57. + r - —dl^J J7. + "'^ = "• 



Si donc on désigne par B., et C, les coefficients de ^ et ^ dans le déve- 

 lojjpement de 0,,, on voit que ij. doit satisfaire à une équation de la forme 



» Or, pour la valeur cherchée de «p, les équations (7) et (2) se confon- 

 dent; l'expression 



(JlogC,\ , / JloaB., 



d(^ 



(8) (2/.-^^)r/«+^2a---^-; 



est donc la différentielle totale d'une certaine fonction i|/ de a etc, et l'on a 



=:A 



» Les mêmes considérations permettent de passer de y. à l. De là, en 

 résumé, le théorème suivant : 



» Quand une équation de Laplace admet quatre solutions 1, , \, 1.-^, >,,,, liées 

 par la relation 



X; + }.^ + >^ = ).;, 



à chaque solution 1 de cette équation en correspond une u. de son adjointe, 

 donnée par la formule 



et inversement, pour passer de jj. à >., on a la formule 



» Dans les conditions où nous nous sommes placé, on peut toujours 

 prendre l'équation G sous la forme 



'^ du di' di' Ou Ou dv ' 



c. R., 1890, -2' Semestre. (T. CM, N° 15.) 70 



