( 569) 

 celle équation. En général, le polynôme E étant de degré k en y., F sera 

 de degré k -i- 2. Il faut donc et il suffit ici que E divise F. 



» On reconnaît que E ne s'annule avec ]j. que si M est sur la caracté- 

 ristique C du plan de U, ou bien est un point de rebroussement {p ]> o), 

 ou un point d'inflexion {q >> 1) (ou les deux à la fois). 



)) Pour que les facteurs ]j. qui apparaissent alors dans t soient aussi 

 dans F, les conditions nécessaires et suffisantes sont les suivantes : 



» I. M n'est pas sur la caractéristique C. Si, en ce point, il y a une 

 inflexion (</ > i), la tangente en M à la ligne U doit engendrer une déve- 

 loppable quand t varie. 



M II. M est sur la caractéristique C. Alors deux cas sont à distinguer : 

 1° La tangente en M à U n'est pas la caractéristique ; si M est un point 

 ordinaire (avec ou sans inflexion), il doit engendrer, quand Z varie, une 

 enveloppe des lignes U ; si M est un rebroussement, il doit rester fixe. 

 2° La tangente en M est la caractéristique; le point M devra être ordinaire, 

 sans inflexion, et décrire l'arête de rebroussement enveloppe de C, à 

 moins que la caractéristique ne soit fixe, auquel cas le point, s'il est ordi- 

 naire, avec ou sans inflexion, ne sera assujetti à aucune autre condition, 

 et, s'il est de rebroussement, devra rester fixe. 



» Certains de ces résultats peuvent d'ailleurs être prévus sans calcul. 



» La même méthode s'applique à d'autres questions analogues, telles 

 que celle-ci : Déterminer les familles de lignes unicursales planes U qui sont 

 divisées homo graphiquement par leurs trajectoires orthogonales. Le problème 

 se ramène immédiatement à celui dans lequel toutes les lignes U restent 

 dans le même plan. Ce système plan est alors soumis aux conditions sui- 

 vantes : 



» 1° Les tangentes isotropes aux lignes U, dont les points de contact sont 

 ordinaires (avec ou sans inflexion) et non cycliques, doivent être fixes ; 



» 2" Les rebroussements à distance finie, dont la tangente est non 

 isotrope et a avec la courbe un contact d'ordre supérieur ou égal à 

 l'ordre du rebroussement, doivent décrire des lignes orthogonales aux 

 lignes U. Les autres doivent être fixes quand U varie ; 



» 3" Si un point cyclique est un point d'mflexion des lignes U (avec ou 

 sans rebroussement), la tangente en ce point doit être fixe. 



» Ces propositions permettent de construire, sans intégration, les sur- 

 faces engendrées par des lignes U possédant la propriété indiquée. » 



