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 singularité, les intégrales qui cessent d'être finies sont données en général 

 par la série suivante 



(■i) hr' -h h,-h ha + h^t--h..., 



dans laquelle t=(x — ^o)': selon la détermination choisie pour /, l'on 

 trouve ainsi deux intégrales : je les désignerai par y et (\ Les coefficients 

 h, h,, . . ., contiennent œ^ et le second est nul si, par cette transformation 



(3) 



17 "-2 



y = Y ', 



la seconde puissance de l'inconnue a disparu de l'équation différentielle 

 proposée. Imaginons que la série (2) soit multipliée pir une autre 1, pro- 

 cédant suivant les puissances entières et positives de x — jCg el conver- 

 gente pour les valeurs de t voisines de zéro; le produit y'" vérifie, dans un 

 certain domaine, une équation semblable à (i) ('); le multiplicateur 7. 

 dépend en général de Xg et x, c'est-à-dire est variable avec l'intégrale, y, 

 que l'on étudie. Cela étant, il est aisé d'établir que les déterminants 



(4) 



'/)-n 



jouent le rôle d'invariants relatifs pour les transformations v"' = l y et, 

 lorsqu'on a fait usage de la substitution (3), l'introduction de y-i-i,(x) 



p'r-' i 

 au lieu de V ne pouvait laisser aucune trace. Les produits A,, a, * sont aussi 



des invariants relatifs pour les changements de variable; si l'on définit un 

 de ces changements par l'équation ~ =/(.r), endésignantpar(p(ic)ceque 

 devient ^ après y avoir remplace x^ par j;, 1 expression indiquée, IpO^ * , 



rip+n 



se multiplie j)ar ( ^ 



, c'est-à-dire est de poids ^-^ —• Soit 



(5) 



du: 



4- A , Y^ -t- 3 A 3 Y -f- A, + A, Y ' h- A„ Y-= h- . . . = o 



(') Toutefois le nombre tie ses coefficlenls n'est pas limité. 



