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 l'équation (i), transformée d'après (3). Les expressions X,^^ \'*' = î,+3.,+, 

 et toutes celles-ci, 



(6) ,,,^„,^,-..^,^^_,>,._,(_^^ _3A,A,), 



qui s'en déduisent, sont des invariants relatifs pour les substitutions 



» Les nouveaux invariants, A^rt, ' , où l'on remplace x^ par x, sont 

 des fonctions rationnelles des précédents, 5, „,+, ; mais leur définition est, 

 on le voit, complètement différente, puisqu'ils concernent des transforma- 

 tions dans lesquelles le multiplicateur 1 renferme x^ et -x. 



» Dans le cas le plus simple, 



(7) d^ ~^ "^y^ "^ 3a. y- + 3^3 V -1- a., = o, 



pris ici pour exemple, on reconnaît que, si deux équations de cette forme 

 se réduisent l'une à l'autre par une transformation telle que 



(8) j(') = yH^o,^), 



elles ne sont pas vraiment distinctes et la réduction est possible sans que 1 

 contienne x^. 



» Dans ce même cas, je suppose que, ayant désigné par p une seconde 

 série, qui procède suivant les puissances entières et positives de .r^ — x, 

 on ait choisi X et p de telle manière que ces deux fonctions 



vérifient une équation différentielle 



*^9) ^ "^ 6,,y(')'+ 3èy"^4- 36370+ b, = o 



du même type que (7). Les fonctions >. -l- p et If, qui sont d'apparence uni- 

 forme, jouissent de propriétés dignes d'intérêt lorsque, l'équation (9) 

 étant donnée, l'équation auxiliaire (7) est de celles que l'on sait intégrer; 

 j'aurai, si l'Académie veut bien le permettre, quelques remarques à pré- 

 senter sur ce sujet. Il n'y a aucune difficulté pour appliquer des considé- 

 rations analogues aux équations plus générales du tvpe (i); il faut alors 



