( 635 ) 



» Le déplacement infiniment petit du corps mobile (S) est une rotation 

 autour de la droite c,c^_, qni est un axe instantané de rotation. Cela étant 

 vrai quelle que soit la position de (S), on voit que : 



« Le p'an (T),D..) des directrices est le lieu des axes instantanés de rota- 

 tion . 



» Ces axes instantanés, perpendiculaires au plan de C, sont parallèles: 

 par suite les droites qui deviennent ces axes forment une surface cylin- 

 drique. C'est cette surface cylindrique qui, en roulant sur le plan (DiD^), 

 entraîne le corps (S). Cherchons la nature de la section déterminée dans 

 ce cylindre par le plan de C. 



» Pendant le roulement du cylindre cette courbe de section se déplace 

 sur son plan en roulant sur D. M.iis nous savons que le point s entraîné 

 dans ce déplacement décrit une droite; la courbe roulante est donc telle 

 qu'un point de son plan décrit une droite : c'est alors une spirale loga- 

 rithmique T. C). 



» Nous arrivons ainsi à ce résultat curieux : 



» Le déplacement du double cône (S) s'obtient en liant ce corps à un 

 cylindre, dont les génératrices sont horizontales et dont la section droite est 

 une spirale logarithmique, cylindre qui roule sur le plan des directrices D, , D^. 



» On comprend qu'il est facile maintenant d'examiner comment ce dé- 

 placement est modifié lorsqu'on change les dimensions du corps (S) et 

 l'angle des directrices. 



» Prenons seulement le cas où les directrices passant toujours par o et 

 restant toujours dans les plans tangents aux cônes qui les contiennent 

 comprennent entre elles un nouvel angle. Ces nouvelles directrices se 

 projettent suivant une droite qui part de o et qui est différente de D. Par 

 suite, la spirale logarithmique section droite du cylindre qui roule sur le 

 plan incliné formé par les nouvelles directrices est différente de la |)re- 

 mière L. On voit ainsi que, les cônes restant toujours tangents aux mêmes 

 plans, le déplacement de (S) est modifié lorsqu'on fait varier l'angle des di- 

 rectrices. • 



» Pour terminer, j'ajoute que le lieu des points de contact de l'un des cônes 



C) La propriété sur laquelle je m'appuie ici s« trouve démontrée dans un Mémoire 

 intitulé : Recherches géométriques relatives au lieu des positions successives des 

 centres de courbure d'une courbe qui roule sur une droite {Journal de Liouville, 

 i839). 



