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avec la directrice sur laquelle il pose est une courbe qui coupe sous le même 

 angle les génératrices de ce cône, c'est-à-dire une loxodromie ; 



» Et que, sur le cylindre mobile, celle courbe est une hélice ( ' ). » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions périodiques de deux lariables . 

 Mémoire de M. Appell, présenté par M. Hermite. (Extrait par l'auteur.) 



« Le Mémoire que j'ai l'honneur de présenter à l'Académie contient le 

 développement complet de la méthode que j'ai indiquée dans une courte 

 Note (^) pour la démonstration du théorème fondamental suivant : Toute 

 fonction de deux variables à quatre paires de périodes, qui se comporte 

 à distance finie comme une fraction rationnelle, peut être exprimée à l'aide 

 des fonctions de deux variables. Ce théorème a été énoncé par Riemann 

 dans une conversation qu'il eut avec M. Hermite en 1860; depuis, 

 M. Weierstrass a annoncé à quelques-uns de ses élèves qu'il possède une 

 démonstration de ce théorème, mais il n'a rien publié sur la méthode dont 

 il fait usage. Dans une Note présentée à l'Académie le 3 décembre i883, 

 MM. Poincaré et Picard , s'appuyant sur ce théorème de M. Weier- 

 strass (') que (n -f- i) fonctions de n variables à in groupes de périodes sont 

 liées par une relation algébrique, ont donné une démonstration du théorème 

 de Riemann fondée sur la considération d'intégrales de différentielles to- 

 tales et sur la théorie des intégrales abéliennes. 



» En me bornant au cas le plus simple de deux variables indépendantes, 

 j'ai réussi à traiter directement la question. Partant de l'expression d'une 

 fonction de deux variables, sans singularités essentielles à distance finie. 



(') M. Resal, à qui j'ai communiqué la présente Note, a cherché la courbe décrite 

 par le centre d'une sphère mobile que l'on substitue au double cône. Il a trouvé que 

 cette courbe est une ellipse. M'appuyant alors sur la réciproque dune proposition 

 que j'ai fait connaître dans le Mémoire auquel j» viens déjà de ren\oyer, je puis dire : 



Le déplacement de cette sphère mobile s'obtient en la liant à un cylindre, dont 

 les génératrices sont horizontales et dont la section droite est une cpicYcloïde ordi- 

 naire, cylindre qui roule sur te plan des directrices. L'intersection de ce cylindre 

 et de la sphère est le lieu des points de contact de celle sphère et des directrices. 



(^) Comptes rendus, séance du 27 janvier 1890. 



{') Ce Ihéorèine est énoncé sans démonstration dans une lettre de M. Weierstrass 

 à M. Borchardl {Journal de Crelle, t. 89). 



