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 sous forme du quotient de deux fonctions entières, telle qu'elle résulte 

 d'un théorème de M. Poincfiré {*), je montre que, si cette fonction admet 

 quatre paires de périodes, on peut l'exprimer par le quotient de deux 

 fonctions entières composées avec des fonctions de deux variables. Je 

 n'ai donc pas à m'appuyer sur la relation algébrique qui lie trois fonc- 

 tions de deux variables à quatre paires de périodes : la méthode suivie 

 permet au contraire d'en démontrer l'existence. 



» Le Mémoire se termine par quelques remarques nouvelles, sur les 

 fonctions de deux variables avec deux paires de périodes, que je de- 

 mande la permission de résumer ici. Une fonction f{oc,y) de deux va- 

 riables, admettant les deux paires de périodes (27:1,0) et {0,-2.-1) et 

 n'ayant pas de singularités essentielles à distance finie, peut toujours être 

 mise sous la forme 



/{x, r)= fi \' 



ç et (}/ désignant deux fonctions entières ne s'anaulant simultanément 

 qu'aux points d'indétermination de/(x,y) et vérifiant les deux relations 



■ <f{a;-h:i-i,y)='f(x,y), cp(a;',7 + 277^) = e"-^<p(^, j), 

 ^'^ j ^(x-^-2Tzi,y) = ^(x,y), ^(x,y -h :i^i) = e"^(x,y), 



où n désigne un entier. Si nous posons 



V =-t-« 



la fonction entière 



f^(x,y) = e''-fi,(^2y 

 vérifie les deux relations 



6(^ + 27TJ, j) = 9(^7, j), 0(x-, J + 27c0 = e-(i(œ,y). 



» Lorsque l'entier n est négatif, les fonctions 



^(x,y)=^(x,y)fi-"(x,y), W(x,y) = -^(x,y)r"(x,y) 

 sont des, fonctions entières admettant les deux paires de périodes (27r«, o). 



( 2 V s -1- V OJ' 



X 



■2 ru 



1,4-t 



(') Acta matliematica, t. II. 



