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avaient été plus curieuses qu'utiles et avaient plutôt servi à mettre en lu- 

 mière des influences nouvelles qu'à en permettre la mesure. D'autre part, 

 les recherches théoriques n'avaient pas été très loin. Willis, tenant 

 compte uniquement de l'inertie du poids mobile, avait trouvé l'équation 

 différentielle de la trajectoire de ce poids ; Stokes avait intégré cette équa- 

 tion et calculé, dans ces conditions, les flèches aux divers points; puis, 

 ayant ainsi traité le cas fictif où la masse du pont est négligeable vis-à-vis 

 de celle de la charge roulante, il avait examiné le cas opposé où le convoi 

 est supposé de masse très faible par rapport à celle de la poutre. Ces cir- 

 constances extrêmes comprennent celles que l'on veut étudier, mais leur 

 étude, pour si intéressante qu'elle soit, ne saurait conduire à des conclu- 

 sions pratiques suffisamment motivées. Phillips aborde le problème direc- 

 tement et sans faire d'autre hypothèse que de supposer la masse mobile 

 concentrée en un point. 



» Dans tous les cas, aussi bien pour la poutre reposant librement sur 

 deux appuis que pour la poutre encastrée aux extrémités, il obtient une 

 équation aux différences partielles du quatrième ordre tout à fait analogue 

 à celle qui régit les vibrations transversales des verges élastiques. Puis, 

 employant une méthode approchée qui lui est propre, il satisfait à cette 

 équation en exprimant l'inconnue par une série ordonnée, suivant les 

 puissances entières de l'abscisse et dont les coefficients sont fonctions du 

 temps. Cette solution, disait de Saint- Venant, se distingue par la hardiesse 

 des expédients, et le savant géomètre n'admettait pas qu'elle fût justifiée. 

 La critique a sa raison d'être. Il n'est ni évident, ni même vrai que l'incon- 

 nue puisse se représenter ainsi et Phillips, sans en être effrayé, s'en aper- 

 çut bien. Quand il voulut écrire la condition initiale de l'immobilité de la 

 poutre, il ne le put pas; toutes les constantes étaient déterminées avant 

 d'en arriver là ; il dût se contenter de prouver, ce qui lui suffisait d'ailleurs, 

 que les mouvements vibratoires résultant d'ébranlements initiaux étaient, 

 dans les limites des applications, sans influence sensible. 



)> Cette objection ne diminue pas la valeur de ce beau Mémoire ; elle ne 

 touche même en rien au degré d'exactitude pratique de ses conclusions. 

 Au point de vue mathématique, de Saint-Venant avait raison; au point de 

 vue de la Mécanique appliquée, Phillips était dans son droit; il n'étudiait 

 pas la question théorique des vibrations dues à une masse mobile, mais 

 bien le problème du passage d'un train sur un pont. La différence de but 

 explique et fait disparaître la contradiction. 



» D'ailleurs, à trente-cinq ans de distance, ce Travail reste le dernier 



