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 » Or, prenons un nombre v tel que 2v > R^ et considérons les deux 



fractions continues 



IV R^ R'- 



S. = 



(2v-(-l)— (2V+3)— 2V-t-5 



R? R'^ R'' 

 S = ' n — F ■ ■ ■ ' 



'' 2V-I-I — 2V-t-Ô 2V-+-D 



R, R, étant les deux racines de l'équation quadratique (i) 



A, B, C, D, ... étant des fonctions linéaires avec des coefficients entiers 

 de R, et l'on aura 



^, _ B' -BVri , __ c'-c; -^, 



^v- A' -a; -ri' ^-+'- B'-A',r,' 



A', B', c étant les mêmes fonctions de R' que le sont A, B, C de R. 



» Or, on peut démontrer que A', B', G', ... seront des nombres positifs, 



A' B' C , ^ 



et TT' fïT) 7^ chacune >r,. 



Aj ti, Oi 



» De plus, toutes les fractions ^,_ ^,' seront des quantités positives et 

 moindres que l'unité. 



)) Mais — — '^' = '-\-, — -) dont le dénominateur sera néces- 



A' a'-a;^ A'^^-^.j 



sairement positif. 



» Donc la quantité positive -^ égale une fraction positive diminuée 



d'une autre fraction positive. 



R' C D' 



» Donc p et les quantités semblables, ^,'jy' •••' seront toutes des frac- 

 tions positives et moindres que l'unité. 



RR' cp' r)r)' 

 » Donc ^,, ~> -r^,i • ■ • seront des fractions possédant ce même carac- 



AA' BB' LU '■ 



tère. 



» Mais tous ces produits AA', BB', CC seront des nombres entiers, ce qui 



est impossible. 



» Je crois pouvoir faire une démonstration tout à fait semblable pour 

 établir que i: ne peut pas être la racine d'une équation d'un degré 

 quelconque dont toutes les racines sont réelles. Pour le cas d'équations 

 avec des racines imaginaires, il y aura quelque chose de plus à faire pour 



