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qu'on peut affirmer la convergence de b^K\ -h o^Co -h . . . dès qu'on a pu 

 constater la convergence de c, +- «'^ -f- D'ailleurs, si l'on pose 



f« = «("« — "„+,), 

 la somme des n premiers termes de la série t', -f- ç'o + . . . est 



U„ étant la somme analogue pour la série ;/, -f- «^ -4- . . .. Il en résulte que, 

 n croissant à l'infini, V„ tend vers limU„. Ainsi, la série b^v^ -h h.,v.^-^ . . . 

 est convergente. Soit B„ la somme de ses n premiers termes, et repré- 

 sentons par A„ la somme analogue dans la série a, m, h- a^u., + . . .. On a 



i — n 



B„ = 2](^*' -4- rt. H- ... -H «,■)(«,. - «,_,) = A,; - nh„u„^, . 



Donc, pour n infini, A„ tend vers limI3„. 



» On sait aussi que la convergence de bft,\ -^r b^v., v- . . . peut être 

 affirmée lors même que la série c, + v.^-\- . . . est indéterminée; mais il 

 faut, dans ce cas, que b,, tende vers zéro, et que, d'autre part, les oscilla- 

 tions de V„ restent finies, ce qui a toujours lieu si U„ et nu^ ne subissent 

 que des oscillations finies. La dernière égalité montre alors que la limite 

 de A„ existe, et qu'elle est égale à celle de B,,. Donc, si nii^ oscille dans un 

 intervalle fini, la série ii^ -|- «^ -1- . . . ne perd pas sa convergence lorsqu'on 

 en multiplie les termes par des nombres qui tendent vers zéro, de telle 

 manière que chacun d'eux soit inférieur à la moyenne arithmétique de 

 tous ceux qui le précèdent. On peut ajouter que la série obtenue est con- 

 vergente quand même la série donnée serait indéterminée, pourvu que 

 toutes les sommes de termes consécutifs, dans cette dernière série, soient 

 finies. 



» Plus généralement, pour qu'on puisse énoncer le théorème d'Abel 

 sans imposer aux nombres a les conditions de croître ou de décroître 

 constamment, et de rester finis, il suffit d'imposer ces conditions aux 

 nombres 



b„ 



«1 H-l + «2 1-^2 -H • • • -H (1,1 V-n 



1J.1 -H [Xj -+- . . . H- [i„ 



les coefficients jj. étant choisis de telle sorte que la limite de 



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