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 existe, pour n infini, lorsque è„ ne tend pas vers zéro, ou seulement que 

 p„ oscille clans un iutervalle fini, lorsque limi„ = o. Rappelons, en passant, 

 que si [a, -\- [j.^ ~\- . . . est une série divergente à termes positifs, la limite de 

 p„ ne peut différer de zéro. Cela étant, si l'on pose 



Vn = i'J; + ^2 + . . . + ;-'-„) [— - 



c'est-à-dire 



^n ^'n ^^ X'n P«- ) ' 



on trouve sans peine les identités 



U„ — V„ = p„, A„ — B„ = b„ p„, 



d'où l'on déduit, en s'appuyant sur le théorème d'Abel, l'existence de 

 limB„, puis celle de limA„. 



» Remarquons, pour finir, que l'élimination de p„ entre les deux der- 

 nières éealités donne 



D'ailleurs, si p^ n'oscille pas au delà de toute limite et que la série 

 «, + «2 -t- . . . soit divergente, il en sera de même de la série t", -h f, + . . . ; 

 mais le rapport de V„ à U„ aura l'unité pour limite. Si, en outre, on peut 

 faire un tel choix des nombres ^i. qu'on finisse par avoir <'„^ o pour toute 

 valeur de n, on pourra écrire, en vertu d'une proposition connue, 



lim ^ = limé,,, 



^ n 



et l'on en déduira, au moyen de l'égalité précédente, 



a, M, H- «2 «2 -+- ... -I- «„ u„ , . a, [Xi -H «2 H2 + • • . H- a„ p-,, 



lim = lim 



|J-2 H- ■■•-+- H-« 



pourvu que le second membre existe. Ce résultat répond partiellement à 

 une question posée par M. Cesaro dans une Contribution à la théorie des li- 

 mites, insérée au Bulletin des Sciences. « 



