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 et, cvidemnicMit, par le même raisonnement, on trouve successivement 



m(^), m 



ou, ce qui revient à la même chose, toutes les quantités 



seront moindres que l'unité ('). 



» Nous allons démontrer, à l'aide de ce lemme, que, si est une racine 

 d'une équation irréductible à coefficients entiers, langô ne peut pas être 

 rationnel ou même une fonction rationnelle à coefficients rationnels de 0. 



» Supposons que A6" -)- B6"~' -h . . . 4- 1^ = o et que tangQ soit une fonc- 

 tion rationnelle de 0. On peut supposer que A = i, car, si nous écrivons 

 6'= AO (-), alors l'équation pour 6' peut s'exprimer semblablement à celle 

 pour 0, mais avec le premier coefficient égal à l'unité. De plus, si l'on 

 peut démontrer que langO' ne peut pas être une fonction rationnelle de 

 9', alors, puisque 9'= AO, et conséquemment tangO', est une fonction ra- 

 tionnelle de tangO, il s'ensuivra que, si tangO est une fonction rationnelle 

 de 0, tango' sera une fonction rationnelle de 9', ce qui est contraire à la 

 supposition faite ('). 



d'un malentendu, dans les Comptes rendus du 24 novembre dernier. La Note précé- 

 dente, qui ne traitait que le cas le plus restreint du théorème du texte, est affectée 

 d'inexactitudes qui la rendent de nulle valeur. 



(') Ce lemme peut être envisagé comme une application de la proposition 8, m 

 d'Euclide. En prenant O le centre d'un cercle à rayon unité et N un point extérieur à 

 ce cercle, Euclide y enseigne que le segment de ON, compris entre N et le contour 

 convexe, sera moindre que toute autre ligne droite menée de N au cercle : à plus forte 

 raison il sera moindre que la distance de N à un point quelconque d'un cercle intérieur 

 au premier. Voir la Note au bas de la page 869 pour une addition qu'on doit faire à 

 ce lemme. 



(-) Voir le scolie pour le cas plus général où les coefficients de l'équation en 6 

 sont des nombres complexes. 



(') L'illustre Legendre aurait, il me semble, dû faire une transformation analogue 

 dans sa présentation célèbre de la preuve de Lambert de son théorème (Note IV, Elé- 

 ments de Géométrie). Pour avoir négligé cette précaution, la succession infinie de 

 quantités toujours décroissantes qu'il trouve par le moyen du lemme de Lambert ne 



