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fornieronl une succession infinie de nombres entiers décroissants, ce qui 

 est imjjossiblc (' ). 



» Ainsi -7(0) et conséquemment tangO ne peut pas être une fonction ra- 

 tionnelle de quand est racine d'une équation à coefficients entiers. 



» Si nous supposons que tangO soit une quantité rationnelle pure et 

 simple, cela ne fait nul changement dans notre raisonnement; ainsi, puisque 



tangTT (ou bien si l'on veut tang^j est rationnel, - ne peut pas être la ra- 

 cine d'une équation algébrique à coefficients entiers. 



» Je démontre par un procédé à peu près pareil à ce qui précède, la 

 proposition inverse, c'esL-à-dire que, si tangO est racine d'une équation 

 algébrique, alors 6 ne peut pas être une fonction rationnelle à coefficients 

 rationnels de tangÔ. Or, dans cette théorie, il n'y a nulle distinction entre 

 les quantités réelles et complexes, de sorte que y/— i compte comme quan- 

 tité entière. Donc tang s/— i, et conséquemment <?, base des logarithmes 

 népériens (qui en est une fonction algébrique) ne peut pas être racine 

 d'une équation algébrique à coefficients entiers. En réunissant les deux 

 procédés applicables à ces deux cas, on parvient à démontrer un théorème 

 plus général, à savoir : 



M Si une /onction trigonoinélnque quelconque et son amplitude sont liées en- 

 semble par une équation algébrique à coefficients entiers, ni l' une ni l' autre ne 

 peut satisfaire à une équation algébrique à coefficients entiers, et comme cas 

 particulier compris dans ce théorème, une fonction Irigononiètrique et son 

 amplitude ne peuvent pas être l'une une racine d'une équation algébrique à 

 coefficients entiers et l'autre aussi une racine d'une telle équation (^). 



» Il y a un théorème un peu plus général, au moins en apparence, qu'on 

 peut démontrer par un raisonnement tout à fait semblable. 



» Nommons une quantité qui est racine d'une équation algébrique irré- 

 ductible à coefficients entiers, simples ou complexes, quantité équa- 



(') Voir le scolie pour le cas plus général où l'équation en 6 a des coefficients com- 

 plexes. 



{-) Ainsi on peut affirmer qu'une fonction irigonométrique et son amplitude, 



ou bien un nombre et son logarithme, ne peuvent pas être tous les deux racines 



de deux équations algébriques quelconques à coefficients entiers. Par exemple, 



CCS ( cos Xir ) ne peut pas être un nombre algébrique de Kronecker, quand X est 



V7 '/" ^7~ 

 rationnel, car son logarithme coalr. est un loi nombre. De même e^ +V!i+vv + ... 



ne peut pas être racine d'une équation algébrique à coefficients entiers. 



