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où T est une iorme quadratique des q' avec des coefficients fonctions des q, 

 et oij les Q dépendent seulement des q. Trouver les transformations de la 



forme 



r,=f,{q „...), dl,^l{q„..)dt 



qui transforment ces équations en d'autres de la forme 



dt, \ûri) dii " '■' 



OÙ S désigne une forme quadratique des /•' avec des coefficients fonctions 

 des r et où les R dépendent seulement des r. 



» Si l'on considère seulement le cas du mouvement d'un point sur une 

 surface, la question proposée est identique à celle de la représentation 

 géodésique de l'une des surfaces sur l'autre. En effet, si l'on imagine une 

 correspondance entre les points réels des deux surfaces, on peut rapporter 

 ces surfaces aux deux systèmes orthogonaux qui se correspondent. Soient 

 les éléments linéaires 



df- = E du- + G di'^^ ds'î = E, du'' -t- G, dv\ 



» En exprimant les conditions de l'énoncé, on obtient six équations entre 

 1, E, G, E,, G,. L'élimination de 1 donne quatre équations de condition 

 entre E, G, E,,G,. Ces conditions sont celles que donne M. Darboux 

 dans son Livre sur la Théorie des sur/aces, au Chapitre qui traite du pro- 

 blème de M. Dini relatif à la représentation géodésique des surfaces. Sup- 

 posant ces conditions remplies, on obtient aisément 1. 



n Si l'une des surfaces considérées est un plan, on peut obtenir les 

 transformations que l'on a en vue sous forme explicite. Rapportant le plan 

 à des coordonnées rectangulaires et la surface au système formé par une 

 famille de géodésiques et leurs trajectoires, on obtient un système de 

 six équations différentielles du second ordre. En éliminant les fonctions 

 inconnues, on reconnaît que la surface doit être à courbure totale con- 

 stante. Les formules données dans l'Ouvrage cité permettent alors d'etfec- 

 tuer l'intégration, et l'on retrouve les transformations qu'indique M. Dar- 

 boux pour faire correspondre les droites du plan aux lignes géodésiques 

 de la surface. » 



