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ne s'annule; quand ce fait se produit, la suite est terminée dans un sens 

 ou dans l'autre, et l'on a le résultat suivant : 

 » Si l'on considère V équation algébrique en p, 



j (- 0" 



\ ^ '' (il — 1 ) ! 



(,7-1)! 



à la plus petite racine positive entière \ correspond, pour L'adjointe de La- 

 grange de la proposée, une solution qui est un polynôme de degré 1 — i; à 

 lapins petite racine négative entière {en valeur absolue) — [j. correspond une 

 solution de la proposée qui est un polynôme de degré \j.. 



» L'interprétation des autres racines de l'équation (i) est immédiate si 

 l'on remarque que, lorsque toutes les intégrales de l'équation E sont régu- 

 lières autour du point critique 00, l'éqnation (i) est l'équation déterminante 

 relative à ce point. 



)) Cette équation (i) paraît jouer un rôle prépondérant dans l'étude de 

 l'équation E. Je vais montrer en effet comment sa ccfnsidération permet de 

 reconnaître si l'équation E a son intégrale générale uniforme dans tout le 

 plan. Ma méthode fournira en outre un procédé pour la trouver. Suppo- 

 sons que le coefficient de x" dans le polynôme a ne soit pas nul. Dans le 

 cas où l'équation ( i) n'a que des racines négatives entières, pour que l'inté- 

 grale générale soit uniforme dans tout le plan, il faut et il suffit que les 

 logarithmes disparaissent dans les développements des intégrales autour 

 du point critique =o. On a alors comme solutions particulières n polynômes 

 dont les degrés sont donnés par les racines de l'équation (i) changées de 

 signe. Le cas où toutes les racines de l'équation (i) ne seraient pas entières 

 et négatives se ramène à celui-là. J'explique d'abord les modifications 

 introduites dans la suite (S) lorsqu'une de ses quantités / s'annule. 

 Soit /2/,_, = o; alors E.^, au lieu d'être l'équation correspondant à la 

 première ligne du déterminant fondamental de E,^.,, est l'adjointe de La- 

 grange de cette dernière équation où l'on regarde ^ comme l'inconnue. 



Cela posé, les racines de l'équation (i) diminuent d'une unité quand on 

 avance de deux rangs à droite dans la suite; il y aura donc une équation 

 Ea, qui sera telle que toutes les racines de son équation déterminante du 

 point 00 seront entières et négatives. Alors les conditions nécessaires et 

 suffisantes pour que l'équation E^^ ait son intégrale générale uniforme se- 



