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ront aussi los conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation E, 

 remplisse les mêmes conditions. De plus, les récurrences établies permet- 

 tront de déduire la solution générale de l'équation E de celle de l'équa- 

 tion Eor- 



)) J'ai appliqué ces considérations à l'équation 



{ +(L.-M)^ + N= = o, 



déjà étudiée par M. Goursat ( ' ). Voici le résultat : 



» Si rt|, eu a„ sont les racines de l'équation déterminante du point ce 



changées de signe et rangées par ordre de grandeur croissante; si 6,, 

 6,, . . ., è„_, sont les racines du point critique o (à part la racine o) ran- 

 gées aussi par ordre de grandeur croissante : 



» Pour que l'intégrale générale de l'équation (2) soit uniforme dans 

 tout le plan, il faut et il suffit que les a soient des entiers différents ainsi 

 que les h, de plus b^ doit être compris entre a^ et a.^ sans être égal à a^, 

 b„, entre a^ et a^ sans être égal à a.,, etc. 



)) A cette équation (2) se rattachent les équations de la forme . 



(3) [y" - r'"-''] ^ 4- ( A.>"'-' - Bj"-?-' ) ^, + . . . + Ns = o, 



où les coefficients sont des polynômes à deux termes présentant une la- 

 cune q. 



» On passe d'une équation (3) à une équation de la forme (2) en faisant 

 le changement de la variable y''=oc. 



» De même, aux équations E se rattachent les équations de la forme 



(ay + a^.Y"^" + . . . + «« v'-''^)g 



4- W~' + p. J""'"^ + . . . 4- ?,,_. y"-' 4"-.)^] 'tp. + . . ., 



en posant 



X = yP. » 



(' j Annales de l'École Normale supérieure, t. XI!, p.' 275 et suivantes. 



