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» // existe cent quatre-vingts autres cônes du second ordre dont chacun passe 

 par une arête de chacun des six trièdres ; on les obtient en prenant une arête 

 dans chaque trièdre, de manière que, dans cette combinaison, il y ait un 

 nombre pair de droites N, de droites P, et de droites Pj • 



» Les trois plans qui passent par les trois couples d'arêtes homologues de 

 deux; trièdres se coupent suivant une même droite située sur le cône 1. 



» Nous n'insisterons pas davantage sur les nombreuses relations que 

 présentent entre eux les six trièdres ; nous passerons à un autre ordre 

 d'idées en indiquant les propriétés du cône 1 lorsque son sommet varie. 



M Quand le point M se déplace d'une manière quelconque dans l'espace, le 

 cône du troisième ordre 2 qui contient les droites N, P, etV^ issues de ce point 

 passe constamment par douze points fixes. 



» Ces douze points, rs, répartis trois à trois sur seize droites, sont ceux 

 où les normales aux ombilics de la quadriquc coupent les plans principaux 

 et le plan de l'infini. Ils jouissent donc de cette propriété remarquable que 

 les douze droites qui les joignent à un point [quelconque de l'espace sont 

 sur un cône du troisième ordre. 



)) Les génératrices de tous les cônes 2 forment un complexe du troi- 

 sième ordre, dont font partie toutes les droites issues de l'un des points u, 

 ainsi que toutes les droites situées dans les plans principaux de la qiia- 

 driqiie, dans le plan de l'infini, et dans les huit autres plans qui con- 

 tiennent des coniques de rebroussement de la surface des centres Je 

 courbure. Chacun de ces douze plans contient six points ra. 



» Les points cj restent les mêmes pour toutes les quadriques repré- 

 sentées par l'équation 



^^' (a+d>)(aH-c) "*" (a-f-c)(a + a) "•" (a+«)(a-+-è) — '' 



où a, b, c sont des constantes et c un paramètre variable. 



» Les normales à ces quadriques forment donc le complexe du troisième 

 ordre trouvé plus haut, et dont le cône est défini par les droites qui joi- 

 gnent un point quelconque de l'espace aux douze points cj. Ce complexe 

 est également celui que forment les génératrices des surfaces (i) et de leurs 

 surfaces homofocales. 



» Les normales aux ombilics sont les mêmes pour toutes les quadri- 

 ques (i); il en résulte, d'après un théorème de M. Maurice Lévy, que ces 

 surf aces forment une des familles d'un système triple orthogonal. 



