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tion qui lui correspond et qu'il appelle réglementaire; le fond de son travail 

 consiste à faire une étude des équations du premier ordre et du premier 

 degré considérées comme réglementaires. 



Quand les surfaces unicursales employées sont du troisième degré, il 

 est possible, dans quelques cas, d'intégrer les équations correspondantes. 

 Ainsi, pour une surface réglée du troisième ordre, dont la droite double 

 appartient au complexe, on n'a besoin d'effectuer que des quadratures; si 

 la droite'double est quelconque, on est ramené à une équation de Riccati. 

 Pour la surface générale du troisième ordre, on se borne au cas où il 

 existe sur la surface une infinité de points, formant une ligne dite nodale, 

 par lesquels passe plus d'une courbe dont les tangentes appartiennent au 

 complexe. C'est d'adleurs un résultat élégant que cette nodale se compose 

 nécessairement d'une ou de deux droites du complexe, ou encore d'une 

 cubique gauche; dans les deux derniers cas, l'équation peut-être intégrée. 



La réglementaire correspondant à une surface du troisième ordre est, 

 en général, de dimension quatre, quand on met l'équation sous la forme 

 normale de Clebscli. Pour tirer parti des résultats qui précèdent, il faut 

 pouvoir reconnaître, étant donnée une équation de cette dimension, si 

 l'on peut la faire dériver d'une surface du troisième ordre. Ce problème, 

 qui n'était pas sans difficulté, se trouve résolu en faisant intervenir la 

 considération des points critiques de l'équation. L'auteur fait une classi- 

 fication de ces points; bornons-nous à citer, en dehors des points critiques 

 ordinaires formant le cas général, les points qu'il appelle dicritiques, et par 

 lesquels passent une infinité de branches simples d'intégrales avec une 

 tangente arbitraire. Avec cette notion, la réponse au problème posé prend 

 la forme suivante : Pour qu'une équation de dimension quatre puisse être 

 considérée comme dérivant d'une surface du troisième ordre, il faut et il 

 suffit qu'elle Aiisix points dicritiques. Outre cette intéressante proposi- 

 tion, nous pourrions signaler encore plusieurs théorèmes relatifs à l'abais- 

 sement de la dimension des équations réglementaires. Ce qui précède 

 suffira pour donner une idée de ce travail fait avec beaucoup de soin et 

 qui témoigne d'une grande habitude des transformations algébriques, 

 mais où l'artifice employé ne pouvait guère conduire à des résultats de 

 quelque généralité. La Commission propose de lui décerner une mention 

 honorable. 



Tandis que le Mémoire précédent se bornait surtout à l'étude approfon- 

 die d'un cas particulier, l'auteur du Mémoire n° 2 aime les théories gé- 



