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nérales. On reconnaît dès les premières pages nn géomètre familier 

 avec les travaux récents sur la théorie des fonctions. Il considère une 

 équation quelconque dn premier ordre, où la fonction et sa dérivée fi- 

 gurent algébriquement, et fait d'abord une importante distinction entre 

 les points critiques fixes des intégrales et les points critiques mobiles, 

 c'est-à-dire susceptibles de se déplacer avec la constante d'intégration. 

 Ces derniers ne peuvent être pour les intégrales des points d'irfdétermi- 

 nation. On jugera qu'il n'était pas inutile de faire explicitement cette re- 

 marque, si l'on se rappelle que les intégrales des équations d'ordre supé- 

 rieur au premier peuvent avoir des singularités essentielles mobiles. 



L'auteur trace ensuite dans le plan de la variable indépendante un sys- 

 tème de coupures, qui empêchent cette variable de tourner autour des 

 points critiques fixes, et étudie les équations pour lesquelles les intégrales 

 ne prennent qu'un nombre limité de valeurs autour des points critiques 

 mobiles. Dans cette hypothèse, on peut concevoir l'intégrale générale mise 

 sous une forme qui met en évidence une classe c de courbes algébriques 

 associée à l'équation proposée. Toute courbe de cette classe est une trans- 

 formée rationnelle de la courbe représentée par l'équation différentielle, 

 quand, pour une valeur fixe quelconque de la variable, on regarde la fonc- 

 tion et sa dérivée comme des coordonnées. Si le genre des courbes c se 

 trouvé supérieur à l'unité, on pourra, par des opérations algébriques, dé- 

 terminer la classe, et l'intégrale s'obtiendra elle-même algébriquemenl. 

 Quand les courbes c sont de genre un, il peut être nécessaire, pour oljlenir 

 l'intégrale, de trouver une solution d'une équation linéaire et de recon- 

 naître si rnie certaine intégrale abélienne n'a que deux périodes. Seul, le 

 cas où le genre est nul échappe à la méthode; cette circonstance se pré- 

 sentera d'ailleurs nécessairement quand l'équation sera du premier degré 

 par rapport à la dérivée. Quoi qu'il en soit, on pourra toujours décider, par 

 un calcul régulier, si l'on ne se trouve pas dans le cas spécial où la méthode 

 échoue. Tout incomplet qu'il soit, ce résultat est bien digne de remarque. 

 Dans les problèmes de celte nature, la plus grande difficulté provient son- 

 vent de l'impossibilité où l'on est de fixer la limite d'un entier arbitraire; 

 cet entier est ici le nombre des valeurs de l'intégrale autour des points cri- 

 tiques mobiles. La méthode précédente permet à l'habile géomètre, dont 

 nous analysons le travail, de reconnaître, dans un cas étendu, si l'intégrale 

 a un nombre limité de valeurs, ce nombre n'étant pas fixé à l'avance. 

 ' Quand on s'est donné le nombre des valeurs que doit prendre la fonction 

 autour des points critiques mobiles, il est possible de résoudre le problème 



c. R., 1S90, 2- Semestre. (T CXI, N° 26.1 ^ ■'" 



