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 Hans tons les cas; c'est ce qui est démontré dans une autre partie du Mé- 

 moire. On est ramené alors à une équation différentielle possédant des 

 points critiques fixes; par suite l'intégration se fera soit par des calculs 

 algébriques, soit au moyen de quadratures, ou enfin on aura à intégrer une 

 équation de Riccati. L'auteur donne ensuite une seconde méthode plus 

 pratique, qu'il applique aux équations du premier ordre et du premier 

 degré, ebest ainsi conduit à des exemples intéressants d'équations de cette 

 forme, oij il met d'une manière heureuse en évidence les invariants relatifs 

 à une substitution linéaire quelconque faite sur la fonction. 



Les méthodes précédentes peuvent être appliquées pour tenter de recon- 

 naître si l'intégrale générale d'une équation différentielle est algébrique. 

 La distinction faite entre les points critiques fixes et les points cri- 

 tiques mobiles permet de décomposer utilement la question en deux par- 

 ties, et, dans plusieurs cas, on peut arriver à la solution de ce problème, 

 qui ne sera sans doute pas résolu de si tôt dans toute sa généralité. 



Nous espérons avoir, par ce rapide résumé, réussi à montrer le remar- 

 quable talent dont a fait preuve l'auteur du Mémoire n° 2, en apportant une 

 importante contribution à la solution des questions difficiles qu'il n'a pas 

 craint d'aborder, et réalisant ainsi un progrès sérieux dans la théorie des 

 équations du premier ordre. La Commission juge ce Mémoire digne du 

 grand prix des Sciences Mathématiques. 



En résumé, la Commission propose à l'unanimité de décerner le prix au 

 Mémoire inscrit sous le n° 2 et portant pour épigraphe : Inratione verurn, et 

 une mention honorable au Mémoire inscrit sous le n°l avec la devise : 

 Franco-Russe. 



Conformément au Règlement, M. le Président procède à l'ouverture du 

 pli cacheté accompagnant le Mémoire couronné et proclame le nom de 

 M. Paul Painlevê. 



L'auteur du Mémoire inscrit sous le n° 1, ayant été informé de la déci- 

 sion de l'Académie, a demandé qu'il fût procédé à l'ouverture du pli ca- 

 cheté qui accompagne sou travail. 



M. le Président a proclamé le nom de M. Léox Autonxe. 



Les conclusions de ce Rapport sont adoptées. 



