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M. Olivici' s'appuie sur une propriété remarquable dont jouissent les liélices, savoir : 

 que le plan oscutateur d'une hélice est toujours perpendiculaire au plan tangent de la 

 surface dcX'eloppahle sur laquelle l'hélice se trouve tracée. 



Supposons une sui face dëveloppable D ayant pour arcle do rebroussement une cour])e E; 

 sur la surface D une hélice H ; en un point m de celte courbe sa tangente t et la généra- 

 trice G de la surface. 



Traçons sur la surface D une des développantes e de la courbe E, cl désignons par n 

 le point en lequel l'hélice II et la développante e se coupent, et par ;9 le point en lequel 

 la génératrice G coupe la courbe e. 



Développons la surface développable D sur son plan tangent T mené par la génératrice 

 G.Deslors les courbes se transformeront E en E', e en é, H en sa tangente t^ les deux courbes 

 transformées t et e' se coupant en un point «'• les deux courbes e et e' étant tauqcntcs 

 l'une à l'autre au point p. 



Si maintenant l'on fait rouler le plan tangent T sur la surface D, de manière que les cour- 

 bes E' et e roulent respectivement sur les courbes E et e, la tangente ^ par ses diverses 

 positions, formera une surface développable D' ayant l'hélice H pour arête de rebrousse- 

 ment. Le point n' décrivant dans l'espace une courbe h. 



La courbe /. est une des développantes de l'hélice H, car elle coupe rectangulairemeuL 

 les diverses positions de la droite t. 

 En effet. 



Considérons le plan T dans l'une de ses positions, celle où il est en contact avec la surfa- 

 ce D par la génératrice G. 



Le point w' tend à décrire une courbe située sur deux shpères, l'une ayant sou centre au 

 point m et pour rayon «j«', l'auiicayaiii SOU centre au point p et pour rayon pn'. 



La tangente à la courbe h pour le point n' sera l'intersection des plans tangens menés à 

 l'une et l'autre de ces sphères pour le point n', et il est évident que ces plans sont respective- 

 ment perpendiculaires au plan T qui contient les deux centres jh et p el le point n'. La tan- 

 gente à la courbe h sera donc perpendiculaire à la génératrice i de la surface développable D '" 



Le plan tangent T' à la surface D' suivant la génératrice t, lequel sera plan oscutateur de 

 l'hélice H pour le point m, est donc perpendiculaire au plan tangent T de la surface dé- 

 veloppable D pour le même point m. 



On conclut delà que tout point d'une courbe tracée sur une surface développable don- 

 nera sur la transformée un point pour lequel le rayon de courbure sera préféré, lorsque 

 pour ce point le plan oscutateur de la courbe donnée sera perpendiculaire au plan tancent 

 à la surface développable pour le même point. " 



Pour les courbes à double courbure, le point de la transformée peut être un point d'm- 

 flexion ou un point méplat ( désignant par point méplat celui pour lequel la courbe est'avant 

 et après le point, située d'un même côlé de sa tangente). On distingue ces points, en pro- 

 jetant la courbe donnée sur le plan tangent à la surface développable; et pour cela, il suffit 

 de prendre deux points sur la courbe l'un avant, l'autre après, le point qui doit se transfor- 

 mer en un point d'inflexion ou méplat, et de voir si les pieds des perpendiculaires abaissées 

 de chacun de ces points sur le plan tangent à la surface développable, tombent tous les 

 deux d'un même côlé de la tangente à la courbe, ou l'un au dessus et l'autre au dessous. 

 Dans le premier cas, la transformée a un point méplat, dans le second cas,un point d'inflexion. 



