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Je mène les tangentes Z à la courbe C au point a , f ' à la courbe C au point a'. 



Il existe une infinité de paraboloïdes tangents à la surface gauche suivant la génératrice G, 

 parmi lesquels il en est un qui est engendré par la droite G se mouvant sur les deux tangentes 

 t et t'; l'on pourrait construire ce parabolo'ide, et par suite le plan tangent au point m, si 

 l'on connaissait le plan directeur Q du mouvement de la droite G. 



Remarquons que tout paraboloide tangent doit contenir deux génératrices infiniment voi- 

 sineï G et G' de la surface gauche, et que le plan Q sera déterminé si l'on connaît les deux 

 droites G et G' puisqu'il leur sera parallèle; or , en vertu de la génération de la surface gau- 

 che , G a pour parallèle sur le cône D , la génératrice g:, G' aura donc aussi pour parallèle la 

 génératrice ^ infiniment voisine de g. Tout plan tangent à un cône contient deux génératrices 

 infiniment voisines ; donc en construisant le plan T tangent au cône D suivant g , l'on aura 

 le plan directeur du paraboloide j ainsi la droite G en se mouvant sur i et t' parallèlement à 

 T engendrera un paraboloide tangent, à la surface donnée, suivant G. 



La considération que je viens d'employer, de deux génératrices infiniment voisines, 

 conduit aussi à déterminer les divers points de la courbe de gorge d'une surface gauche 

 générale. 



On appelle ligne de gorge d'une surface gauche la ligne la plus courte que l'on puisse tracer 

 sur la surface, pour passer d'une génératrice aux diverses génératrices successives et infini- 

 ment voisines. 



Il est évident que si l'on considère deux génératrices infiniment voisines; comme dans les 

 surfaces gauches , elles ne se coupent pas, la plus courte distance entre ces deux droites sera 

 l'élément rectiligne de la courbe cherchée. 



Par deux génératrices infiniment voisines G et G' d'une surface gauche, passent une in- 

 finité de paraboloïdes tangents , tous excepté un, sont obliques y un seul est rectangulaire. 



L'on sait que, dans truif pnraKnlnirlfi i'oy>tarignlnirp , Ifis deii"*^ flén^ratrices de SyStCmeS 



dillerents qui se croisent au sommet, jouissent de la propriété suivante j la génératrice du 

 premier système, coupe normalement toutes les génératrices du second, et vice versa. 



Il faudra donc construire le sommet du paraboloide rectangulaire tangent à la surface 

 gauche suivant la génératrice G, et l'on aura en ce sommet un point de la courbe 

 ciierchée. 



L'on pourrait, dans certains cas , employer le paraboloide normal à la surface gauche sui- 

 vant la génératrice G: car l'on sait que ce paraboloide normal est toujours rectangulaire, 

 et que son sommet est placé sur la droite G, au point en lequel est situé le sommet du para- 

 boloide rectangulaire tangent. 



M. Hachette, à qui la géométrie descriptive doit un si grand nombre de solutions élégantes, 

 a donné une construction remarquable du sommet d'un paraboloide dont on connaît un 

 des quadrilatères gauche (voir le Bulletin de la Société Philomalique, i832, séance du 

 3 mars). 



La construction de la courbe de gorge d'une surface gauche, permettra maintenant de 

 construire , en n'employant que des droites et des plans , l'axe d'un hyperboloïde à une 

 nappe, déterminé par ses trois droites directrices. 



En effet: L'on sait construire le centre o de la surface au moyen de trois plans assymptote» 

 (voir la Géométrie descriptive de M. Hachette), il suffira donc de construire les sommets 



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