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On doit faire remarquer que les sections coniques doivent avoir toutes un centre, ou 

 être toutes des paraboles. 



Cela posé: considérons deux surfaces du second ordre ayant un diamètre commun D, et 

 en l'une de ses extrémités un plan tangent commun T. 



Par un point o arbitrairement choisi sur D, menons un plan P parallèle à T, lequel coupera 

 les deux surfaces suivant deux sections coniques A. et B ayant toujours un centre, et pour 

 centre commun le point o , parce que tout plan passant par le diamètre D coupera l'une et 

 l'autre surfaces, soit qu'elles aient un centre commun, soil qu'elles se trouvent deux para- 

 boloïdes , suivant une courbe ayant pour corde conjuguée du diamètre D, la droite intersec- 

 tion du plan P et du plan sécant. 



Ces deux courbes se couperont donc en 4 points, ou pourront se toucher en 2 points; 

 désignons dans le premier cas les 4 points d'intersection par a, a', b, b'; Il est évident 

 qu'ils seront unis 2 à 2 par deux droites ab , a'b' se croisant au centre commun o. 



Je dis que les deux surfaces se couperont suivant deux courbes planes dont les plans ne 

 seront autres que ceux déterminés par D et ab ,D et a'b'. 



En effet : concevons par D une suite de plans sécants V, V', V", etc., coupant les deux 

 surfaces, le premier V suivant deux sections coniques E et E'j V suivant H et H'j V" 

 suivant G et G'; etc., de plus V coupera le plan tangent T suivant la droite t tangente 

 commune à E et E'j V suivant t' tangente à H et H'j V" suivant t" tangente à G 

 et G' ; etc. 



Enfin V coupera la plan P suivant <£ parallèle a t; V suivant d' parallèle à i'; V" suivant 

 d" parallèle à t", etc. 



Cela posé : coupons tout le système par un plan Q parallèle au plan P. Ce plan coupera 

 la première surface donnée suivant une section conique a semblable à A, et la seconde 



surface suivant G soiiitla-tlû ô B. 



Ce même planQ coupera V suivant une droite S parallèle à d; "V' suivant S' parallèle à 

 ff j V" suivant S" parallèle à d"-j etc. 



Projetons maintenant les courbes et les droites situées sur les divers plans V'_, Y", etc., 

 sur le plan V, au moyen de droites parallèles entr'elles et au plan Pj on aura dès-lors sur le 

 plan V, une suite de sections coniques E, E', Hp, Wp , Gp, G'/?, etc., qui auront toutes 

 un diamètre commun D, et en l'une de ses extrémités même tangente t: car les tangentes 

 Z', t", etc., se projetèrent toutes sur t; de même les droites S', S", etc., se projetèrent 

 toutes sur S. 



On pourra donc déterminer sur le plan V les deux points de concours R et R',et il est 

 évident que les cordes qui , sur le plan V ont les points R et R' pour points de concours , sont 

 les projections obliques des génératrices des a cônes qui uniront les courbes a et A, et des 1 

 cônes qui uniront les courbes S et B. 



Lorsque deux cônes ont même sommet ils se coupent suivant des génératrices, les deux 

 cônes qui auront leur sommet en R se couperont donc suivant 4 génératrices partant des 4 

 points a^b,a',b, intersections des deux courbes A et B; par conséquent les deux courbes 

 a et ê se couperont en 4 points situés 2 à 2 sur les plans (D, aZ») et (D, a'b') , c. g.f. D. 



Les deux courbes A et B, au lieu de se couper, pouvant avoir 2 points de contact, on doit 

 en conclure: que, lorsque deux surfaces du second ordre ont un diamètre commun et en 



