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l'une de ses extrémités même plan tangent, elles se coupent suivant deux courbes planes 

 dont les plans se croisent suivant le diamètre commun, ou elles se touchent suivant une 

 courbe plane dont le plan passe par le diamètre commun. 



Puisque deux surfaces du second ordre, concentriques et en contact par deux sommets 

 opposés, ont toujours pour courbe de contact, une courbe plane, on pourra construire la 

 tangente en un point de la courbe de contact de deux surfaces quelconques, lorsque pour ce 

 point , l'on connaîtra pour Tune et l'autre surfaces, et les rayons de courbure maximum et 

 minimum, et la direction des lignes de courbures. La solution de cette question est due à 

 M. Hachette, qui l'a donné à la Société philomatiquedans la dernière séance, en s'appuyant 

 sur le théorème qui vient d'être énoncé. 



M. Hachette dans un supplément à sa géométrie descriptive, publié en i8a4, a donné la 

 construction du point de la courbe de contact d'une surface développable et d'une surface 

 courbe, pour lequel la génératrice de la surface développable devenait la tengente de cette 

 courbe de contact. 



Par la considération de deux surfaces du second ordre, concentriques et osculatrices, on 

 arrive à la solution de cette même question , mais par une marche différente. 



Dans le cas où l'une des surfaces données est développable, comme alors sa surface 

 osculatrice est un cylindre, on voit : qu'en désignant par R et ries rayons de courbure de 

 la surface courbe, et par p le rayon de courbure de la surface développable, il faudra prendre 

 sur la normale IM àla surface courbe pour le point m de la courbe de contact, une grandeur 

 arbitraire mo = c, et dans le plan P mené perpendiculairement à N par le point o, 

 construire une ellipse , si les rayons de courbure R et r sont dirigés dans le même sens , 

 ou une hyperbole , si les rayons de courbure R et r sont dirigés en sens opposés; cette courbe 

 ayant son centre en o et ses axes a = y'JK et b = i/77 dirigés dans les plans des sections 

 principales de la surface courbe; puis mener deux tangentes à cetr« rmirbe parallèles 

 eutr'elles et à la génératrice G de la surface développable qui passe par le point m et suivant 

 laquelle le cylindre osculatcur en m , se trouve tangent à celle surface. Ces deux tangentes 

 seront distantes l'une et l'autre du centre o d'une même quantité, qui sera d=^^,Ces 

 deux tangentes auront deux points de contact n et n', avec la courbe ellipse ou hyperbole, 

 lesquels seront unis par un diamètre D de cette courbe , et qui sera sur le plan P la projection 

 orthogonale de la tangente cheichée. 



d variera avec p ; mais comme d ne pourra jamais être nul , si la courbe tracée sur le plan 

 P est une ellipse , et que d pourra devenir au contraire nul si la courbe est une hyperbole, 

 auquel cas les deux points de contact n et n' seront transportés à l'infmi sur les branches de 

 l'hyperbole} auquel cas le diamètre D deviendra une assymptote de la courbe, et sera alors 

 sur le plan P la projection orthogonale d'une des deux génératrices de l'hyperboloïde 

 osculateur, lesquelles se croisent au sommet f?i; on voit que lorsque la surface courbe a ses 

 rayons de courbure dirigés en sens opposés , la tangente au point m de la courbe de contact, 

 sera une génératrice g de Thyperboloide osculaleur , si pour ce point m, le rayon de courbure 

 p de la surface développable se trouve nul. 



Ensuite, comme les deux tangentes à l'hyperbole sont parallèles à la génératrice G delà 

 surface développable, suivant laquelle le cylindre osculateur est tangent à cette surface, 

 on voit que lorsque p=o, ces deux tangentes se confondant avec l'assymptote, le cylindre 



