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 (J'où, par (les substitutions successives, on déduit 



1 a 1 ce a. [cr. — \] 



X X X x{X-A-i) X{X-\-\) 



__\ « oc(j, — i) ,.(a — 'l)(a— 2) 



X x{x-^ï) a? (a?-f-l)(a;-*-2) x{x-\-\)[x-hi)'^ 

 et l'on en conclut la formule suivante, due à Stirling (*), 



11 ûi a(a — 1) 



X-¥-a X x{X-^\) X [X -h i) (X -\- '2) 



x(X'hi)... (x-4-îi) x(x-+-i) ... (x-¥-n) (x-\-<x) 



Multiplions par dcc les deux membres de cette équa- 

 tion, et intégrons ensuite tous les termes entre les limites 

 a = o, «= 1 : en posant 



/'' ^(^-i) .-. (g- iM-l) ^ 1 



^y 1.2 ... z X 



o 



1.2...1 

 X,= 



a? (a?-*- 1) ... {x-+-i) 

 nous aurons 



log. (l-*-i)=X,-«.X, H-^A-... 



{x — 1) ... (a — n) clx 



+ (-ir«„x„-{-i)" 



a 



^J x[x-\-\) ..,{x-\- n) [x -+- a) 



o 



Celte série, mais sans l'expression du reste, a été don- 



(*) Nicole a donné une formule plus f^énérale dans les anciens Mémoires 

 de l'Académie des sciences de Paris, année 1727, paç. 257. 



