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née par Lagrange. On peut remarquer qu'elle est conver- 

 gente pour toutes les valeurs positives de x, car le reste, 

 qui la complète après n termes, décroît indéfiniment à 

 mesure que n croît : en effet, la fonction 



(_i)»«(— 1 



x{x-hi) ... (x -^ n) (a; '^- a.) 

 est le quotient des deux produits 



■"-'>{'-i)-{'-~y- 



X{x + a)(\^x) (l-^l) ... (l^-,;)» 



et lorsqu'on passe de n à n -+- 1 , on ajoute au dividende 

 le facteur 1 ~. , au diviseur le facteur 1 



W H- j ' »i -t- 1 



le premier inférieur et le second supérieur à l'unité, puis- 

 qu'on a o<a<l, xy 0, d'où il suit que cette fonc- 

 tion est décroissante; de plus, elle décroît au delà de toute 

 limite, puisque le diviseur, étant plus grand que 



/Il 1\ 



^ ' ^ ' V 2 5 nJ 



croît au delà de toute limite avec la somme 1 -+- 1 -+- 1 -f- ... 

 -H ^ : il en sera de même à l'égard de son intégrale prise 

 entre les limites a==o, a= 1. 



Considérons maintenant la fonction u={x — fjlog.a:— a?, 

 et prenons sa différence en supposant A^ == 1 : il vient 



AU = log. X -^ I a; H- -- 1 log. 1 d h I — 1. 



