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 iOP — 1 ou iQp -+- \ est divisible par un nombre premier 

 donné 2jp -f- 1 , ce qui revient à déterminer si 10 est 

 résidu ou non-résidu quadratique du nombre Sp h- 1. Ces 

 observations sont bien faciles et bien simples, et il est 

 probable qu'elles auront déjà été faites; mais comme je 

 l'ignore, j'ai pensé, à cause de l'intérêt qui s'attache à tou- 

 tes les productions d'Euler, pouvoir vous les soumettre : 

 vous en ferez ensuite tel cas qu'il vous plaira. 



» Euler disîingue si le nombre premier donné est de la 

 forme 4n -f- j ou de la forme An — 1 , et il prescrit de con- 

 sidérer , dans la première hypothèse, les diviseurs des trois 

 nombres n, n — 2, n — 6, et, dans la seconde, ceux des 

 nombres n , n -»- 2 , n -+• 6 : si parmi ces diviseurs on trouve 

 les deux nombres 2 et 5 ou aucun d'eux, c'est une marque, 

 dit- il, que la formule 10^ — 1 sera divisible; si seule- 

 ment l'un des nombres 2 ou 5 s'y trouve, alors la formule 

 10^ -+- i sera divisible. Il ajoute que « ces règles sont fon- 

 » dées sur un principe dont la démonstration n'est pas 

 » encore connue ». Le principe auquel Euler fait allu- 

 sion, est la loi de réciprocité, dont on possède à présent 

 tant de démonstrations différentes : voici en effet, comment 

 elle sert à démontrer la règle d'Euler réduite aux seules 

 conditions nécessaires. 



» Soit 2p-4- 1 =N : le nombre 10 sera un résidu qua- 

 dratique de N si ses facteurs 2 et 5 sont tous les deux 

 des résidus ou tous les deux des non-résidus, et sera un 

 non-résidu, si l'un de ces fadeurs est un résidu et l'autre 

 un non-résidu. Or, en vertu de la loi de réciprocité, le 

 facteur 5 est un résidu ou un non-résidu de N, suivant 

 que N est un résidu ou un non-résidu de 5, c'est-à-dire 

 suivant que N est de la l'orme omdb 1 , ou de la forme 

 5m ± 3 ; car ± 1 est résidu , ± 5 est non-résidu de 5. D'un 



