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autre côlé, en supposant N==4/i-f-'l, ou N = 4n — 1, 

 le facteur 2 sera un résidu de N si n est pair, sera un non- 

 résidu si n est impair. Maintenant l'égalité 4n h~1 =5/?i±l 

 donne in = 5m ou 4// -4- 2 = 5m, et cette dernière peut 

 se mettre sous la forme 4(n — 2) =5 (m — 2) , d'où il suit 

 que, dans ce cas, n ou n — 2 sera divisible par 5; l'autre 

 égalité in — 1 = 5m ± 1 fournit An = 5m ou 4 (n -+- 2) 

 = 5 (m -+- 2), savoir n ou n -+- 2 divisible par 5 : ainsi 5 

 sera un résidu de N = 4n±l lorsque cette condition 

 sera satisfaite, autrement il sera un non-résidu. De là on 

 conclut que iO sera résidu quadratique de N et 10^' — 1 

 divisible par N, si, n étant pair, l'un des nombres n, 

 n — 2, ou ?i , n -+- 2 (suivant que N est égal à An -+- 1 ou à 

 An — 1) est divisible par 5, et encore, si n est impair, et 

 aucun des mêmes nombres n'est divisible par 5 : bors de 

 là, N sera un diviseur de 10^ h- 1. Cette conclusion s'ac- 

 corde avec la règle d'Euler et la simplifie en même temps, 

 en dispensant de considérer les diviseui's de l'autre nom- 

 bre n =h6. Au reste, ce nombre, pair ou impair, comme 

 n et n±2, ne peut jamais être divisible par 5, N étant 

 un nombre premier, car si l'on avait n — 6 = 5^ et 

 N = An -h 1 , ou n-^6t=ox et N = An — 1 , il s'ensui- 

 vrait N = 20^-t-25 ou N = 20j; — 25; en sorte que N 

 serait un multiple de 5 : il était donc évident à priori, 

 que la considération de ce nombre devait être inutile. Il 

 est surprenant que cette remarque ait écbappé à Euler. 

 » En supposant An -4- 1 = 5m ± 5 , on trouve 4 (/i-t-2) 

 = 5 (m -+- 2) , ou 4- (n -4- 6) == 5 (m -+- A) ; en supposant 

 An — 1 = 5??i ± 5 , on trouve 4 [n — 2) = 5 (m — 2) , ou 

 Ain — 6) = 5 (m — 4) : ainsi, lorsque N est non -résidu 

 quadratique de 5 , l'un des nombres n ±2, n ± G est divi- 

 sible par 5. On peut donc tirer une autre règle de la con- 



