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a gauche ; cette fonction , que nous avons appelee conju- 

 guee premiere, se forme en derivant dans la propose 

 par rapport aux ordres, les coefficients dilli'-n'iitiels, comme 

 en algebrc on derive par rapport aux exposants. ( Voir le 

 memoire publie en 1842.) 



Supposons que la fonction u puisse se mettre sous la 



forme : u — a -\-be* ' -f-f e 2 * *-f ...= A - r -Ba < r+Ca , jr , -|-.... 

 Supposons de plus A= 1 , B positif et a inliniment petit; 

 la substitution de u dans Pequation (1) donnera le re- 

 sultat suivant : 



Jlx, f u,0n)> ...)=f(x,y,f ...)(i + Bax+...)+ 



-f'/(.r, r ...)a(B-f 2 Cax + ...)-f 



+' , /(x,j...)a , (aC+...)4-ctc. etc... (3) 



Ce developpement fait voir que le premier membre et 

 le premier terme du second membre , resteront de meme 

 signe, quel que soit x , tant que a sera inliniment petit, 

 et qu'on aura remplace ypar une fonction de x quelcon- 

 que. Mais si cejtte fonction de x, que nous appellerons 

 <p(.r),est une integrate de la proposee (en supposaot egale 

 a l'unite la constante qui la multiplie ) , le premier terrae 

 du second membre sera identiquement nul, de sorte que 

 If premier membre sera, quel que soit .x, de meme signe 

 que la fonction conjugnee, f(x,y...) puisque a est inlini- 

 ment petit et que les termes suivants sont du second , troi- 

 sieme, etc... ordres par rapport a cette lettre. Mais si on 

 avait donne a u une valeur pareille a la precedente , en 

 faisaot seulement a negatif , I'egalite (2) aurait prouve que 

 le premier membre anrait ete, quel que fut .r, d'un signe 

 contrairc a la fonction conjuguee premiere. De cequi pre- 

 cede resulte ce tbeoreme : 



Si 9(0.) est une integrale d'une equation different telle 

 lineaire ue contenant pas de lerme dependant de la seu/e 

 variable, etsiuu substitute, au lieu dey y dans cette equa- 



