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tion differentielle, les deux expressions <p(x) ( i -|-B a x-j-. .), 

 <p(x) ( i— B' a x-f . . .) e£ (j ue a soit tres-petit, les resultats 

 des deux substitutions seront des fonctions de x t de si- 

 gne contraire , quel que soit x. 



Reciproquement , si les deux substitutions preceden- 

 tes donnent des resultats en x, qui aient des signes 

 contraires, quel que soit x , <p(x) sera une integrate de la 

 proposee, car s'il n'en etait pas ainsi , le premier terme 

 du second membre de l'equation (2) existerait; etcorame 

 ce terme est plus grand que la somme de tous lesautres, 

 pour a positif ou negatif , les substitutions auraient donne 

 des resultats de merae signe, ce qui est contrel'hypothese. 



Le theoreme precedent suppose que <p(x) n'est pas 

 une integrate de la premiere fonction conjuguee, et que 

 la substitution au lieu de j ne 1'annule pas, car dans ce 

 cas le second membre ne changerait pas de signe avec a. 

 Mais le theoreme subsisterait si des fonctions conjuguees 

 en nombre pair etaient aneanties par Phypothesejr= ^{x\ 



On verra aussi tres-aisement que si on considere une 

 suite des fonctions , u! , u",... de meme forme que u , e'est- 

 a-dire developpees par rapport aux puissances entieres de 

 ax, et si les coefficients des deux premiers termes deces 

 diverses fonctions sont positifs , les substitutions dans l'e- 

 quation differentielle deju,juu',juu'u",... au lieu 

 dej donneront pour resultat des fonctions en x, cons- 

 tammentde meme signe, entre elles, quel que soitx.Sup- 

 posons que j- = <p(x) soit une integrale de la proposee, et 

 qu'une des fonctions , de la smteyu,yuu' ,yuu' u",... 

 coincide avec une seconde integrale de la proposee <p (x) mul- 

 tiplied par un developpement de la forme (A — Bax-|-..); 

 comme alors la fonction proposee qui a, quel que soit x, 

 le meme signe que les precedentes, a pour cette derniere 

 substitution un signe contraire a celui de la conjuguee 

 premiere, il faudra admettre que dans la suite des subs- 



