DB l'aCADEMIE I)ES SCIENCES. 207 



titutioiisj' u, yuu' ,... deu\ foDGtiODfi resultantes foUl ni. £ 



par . U conjuguee premiere, son t devenuesde signe cun- 

 traire , be qoi prouve qu'un des facteors (rune de ces subs- 

 titutions a etc integrate de oette oonjuguee. 



2.° Snpposons line equation difierenlielle , lineairc ou 

 non, de l'ordre «, <|ue nous designerons par X B =oetsup- 

 posons que X B _,:=o soit tie l'equation dc l'ordre n — i 



qui satisfasse a X„ = o. Nous avons vu dans la theorie des 

 equations diuerenticlles qu'un pent toujours poser l'iden- 



tite X - =M^CX >I ^)41N(X n _0.=K^. (.X,,.,) (3), 

 en supposant K^z^M , K- =^S d'ou resulte : -^z^—dx 



et zz=e^ (4). D'apres la forme de l'expression (3), 



il est evident que s'il existe unc solution singuliere de 

 X„=o, elle devra annuler K, comme le prouve tres-bicn 

 Lagrange,( lalcul des functions, pages ao5, 2o(i(i 4-' lecon). 

 Si actuellement on a {'equation differ en tielle de l'ordre //. 

 X„ et unc de ses integrates de l'ordre // — i que nous suppo- 

 serons de la fonne\„_ l — a,a etantlaconstantearbitraire 



enposantl'identite: X„= INI- .-(X,,.,— «)+N(X„_, — a), 



il est evident que puisque le second membre doit etre in- 

 di pendant de a, et que a est quelconque, le produitNd ne 

 poarra etre nul qu'a la condition d'avoir IN = o , par suite 



X 1 .=M^(X 1 ._ 1 )(5). Si X.=j«+/(*»7^-J > - )J 

 et si (l.uis X„_, nous appelons K'(j ( " — '>) le coefficient 

 de j / ( "~ ,) , on aura , en vertu de I'identite precedente , 



M==; , et de plus — est le facteur, qui rendra It 



l ->)' i M ' l 



premier membre de Legalite* (s) one differentielle exacte. 

 Supposons que \,_, coniienne la constante a d'une 



