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SUR QUELQIES PROPRIETES DES POLYGONES IT I>1 S IMM.YI- 



DRES INSCRIPT1RLES. EXPRESSION DU RAYON DE LA 



SPHERE CIRCONSCRITE AU TETRAEDRE. RAYONS DE 



COURRURE DES COURRES A DOURLE COURRURE. 



Par If. E. BRASSINNE. 



1.° Si a, b, c designent les trois cotes d'un triangle, 

 dont S est I'aire, et R le rayon tlu cercle circonscrit, on a 



la relation : Rz: ' _- d'ou 4S=— ^— • Cela pose, consi- 



derons un polygone inscriptible, que nous decompose- 

 rons en triangles, par des diagonales partant toutes d'un 

 nietae sommet; la formule precedente appliquee a chacun 

 des triangles prouve, que : quatre fois I'aire du polygone 

 6gale la sonime des produitsdes trois cotes dechaque trian- 

 gle, divisee par le rayon du cercle circonscrit. Et comme 

 le sommet d'oti partent les diagonales qui divisent le po- 

 lygone est qaelconque, il resulte ce theoreme general : Si 

 on decompose un polygone inscriptible en triangles par 

 des diagona les partant d'un meme sommet, la somme 

 des produits formes , en muliiplittnt entre eux les trois 

 cotes <le chacun des triangles , sera la inenic , quel que 

 soit le sommet d'oii partent les diagonales qui operent la 

 decomposition du p< dy gone en triangles. 



Ce theoreme comprend , comme cas particulier , la 

 proposition qni donne le rapport des diagonales d'un qua- 

 drilatere inscriptible en fonclion des cotes de ce quadri- 

 latere. 



