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2.° On arriverait a nne proposition moins simple, pour 

 le polyedre inscriptible • ruais son enonce suppose l'ex- 

 pression du rayon de la sphere circonscrite a un tetraedre 

 en fonction des cotes de ce tetraedre. Or, en employant 

 les memes lettres avec on sans accent, pour designer les 

 aretes opposees du tetraedre, nous representerons dans 

 notre fonnule les six aretes par a, a' ,b,b' , c,d . Si V est 

 le volume de ce solide et R le rayon de la sphere circons- 

 crite, nous ecrirons sans la demontrer la relation : 



= : ^J(aa'+bb'+cc')(aa'+bb , -cc')(cia , +cc'-bb')(cc , +bb'-aa 



Expression qui se mettra sous la forme suivante, si on 

 designe par ip la somme an' -\- b b'-\-cc' : 



K^sJpiP-va'Kp-M'Xp-cc'). 



3.° Supposons que sur un plan trois points consecutifs 

 d'une ligne courhe , m , in' , in", aient pour coordonnees, 

 x,y, x -f dx,y -f dy, x-\-i dx-{-d 2 x, y-\- 1 dy-\-d*y. Si 

 on prolonged in' jusqu'a l'ordonnee du pointm", que nous 

 supposerons coupee au point K,il est visible quele triangle 



m in' in" ■=. in in" K — in" m' K=.-(dx d*y — dj. d 2 x). En 



appelant ds le premier element de la courbe, on aurad'apres 



2 . d S (I s^ 



la formule du i.° R = t — : — ; — t,=t-, — ; ; ; — • 



4 . m m m (a x d*y — ay .d*x) 



Si M , M' , M", sont trois points consecutifs d'une courbe 



a double courbure, dont le premier element sera ds, le 



rayon de courbure de cette courbe aura pour expression : 



ds* 

 R=— -, A etant l'aire du triangle M M' M"; mais les points 



M , M' , M" se projettent en in, in' , in" sur le plan desxy, 

 et en considerant successivement, M M' M" ou in in' in" 

 corame les bases du tronc de prisme triangulaire forme 

 par les six points M, M' , M", in, in' , in", on trouve que 



