DE l'aCADEMIE DES SCIENCES. 1 1 



ticgre devicnt mil, 7 sera aussi mil, puisque d'apirs la coin- 

 position des equations 7=ia.y. p p..a'.y'.p' done la 



raciue du faclciir dii second degre, representee par la serie, 

 est celle qui devient nulle avec le dernier lerine du facteur 

 du second degre, c'esl done la plus petite racine reellc a, 

 dc IcMpialion proposee. 



II est dair cpie dans cetle demonstration, aussilolque nous 

 avons admisque la racine reelle dcveloppee en serie satisfail 

 au facteur du second degre (a*— a) ( a; — y)^='^'' ~I~ ^^ -^ ~f~ ^^ ■> 

 nous pouvons supposer le premier membre de I'equatiou 

 ])roposee, ainsi compose: (a;'-|-K;r-f-K')(ir— p)(^a; — 5)... 



(.r — p) (a; — a') (.t— p') La serie develo[)pe une des 



racines du premier facteur x*-\-Kx-\-]ii' , el c'est celle qui 

 s'annule avec K' , puisque K'=o entraine 7 = 0; (a? — a' ), 

 {oD — P' ), sont les facteursprovenantdes racines imaginaires. 



3" Si, dans la proposee, les facleurs (a? — a), (a? — p)... 

 etaient multiples, les raisonnements precedents existeraient 

 encore, car a, designant la plus petite des racines, on pour- 

 rait toujours supposer que la serie developpe une racine 

 reelle du facteur (a; — a)(a? — y). La proposee se compose- 

 rail alors de cette maniere : 



(a;^-|-Ka;-|-K') {x — oLy-' (a?— p/-'(a;— y)"" , 



dans ce cas, conime dans le precedent, K' =0, annulanl </, 

 la racine dcveloppee serait egale a a. 



4° Appliquons ces considerations preliminaires a la serie 

 que Lagrange a donnee dans son grand oiivrage sur la reso- 

 lution des equations numeriques (note M"'«}. Si on consi- 

 dere I'equation (i) u — x-\-f(^x)-=.o^ u elant un parame- 

 tre quelconque , la serie de Lagrange est : 



F(a.)=F(iO + F'(iOxf(") + ^(F'(u)xKj 



+^(jp'Wxr(u))"-\-cic 



