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Les accents in(li<|iient , suivant la notation de rillustre geo- 

 metre, les tlerivees succcssives des fonctions qu'ils aflectent. 

 Dans le cas parllculier oii on voudrait developper une ra- 

 cine X de I'equation (1), la serie deviendralt : 



x^u^\{u)^\{j{uj) +i^(f(.0^)" + etc (2) 



]\Iais — £p-|-/"(a?)=o pouvant representer une equation 

 algcbrique quelconque, le developpement precedent, dans 

 lequel on ferait ?< =o apres avoir effectue les operations in- 

 diquees , exprimerait une de ses racines , s'il etait conver- 

 gent. D'apres les notations ci-dessus, 

 _a;-l-/-(£c)=a7'"+aa3"'-' + 6a;'"-^-f ...(p— l)a;+?. 



Designons /"(it) par «cp(w)-|-f/, 9 (it) etant egal a 

 'u!"—'J^au"'~''-\-...-\-l^-~\\ cela etahli , on a 



... -ffjfM'"-' 9 («)'""' -f- W" <p ( l()'" 



developpement qu'on peut porter dans la serie (2). De cette 

 substitution, il resulte, que si on fait m = o apres les ope- 

 rations indiquees, tous les termes de la serie contiendront 7, 

 puisque /■(«)'", etant derivee , m- 1 fois, le dernier terme 

 w"'9'(i(), seul independant de q sera nul pour riiypothese 

 i< = o. La valeur de a?, exprimee par la serie en termes reels, 

 etant annulee pour la supposition 7 = 0, exprimera dans ce 

 cas la plus petite racine de : 



03'" -|- a as'"- ' -f ( p — 1 ) 0? 4- f/= 0. 



Remarquons que si la serie est convergente , elle ex- 

 prime necessairement une racine reelle de la proposee : 

 dans le cas de la convergence , la proposee doit done avoir 

 au moins une racine reelle. Si la serie est divergente , elle 

 ne peut etre d'aucune utilite ; le developpement diver- 

 gent peut d'ailleurs correspondre a une raciuQ imagi- 



