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SUR LA 



TRANSFORMATION MODULAIRE DE LAGRANGE; 



Par M. E. BRASSINNE. 



1° Nous poiivons presenter simplement la transformation 

 niodulaire de Lagrange, en faisant usage du lemme fonda- 

 mental du theoreme de M. Jacobi. 



Considerons I'equation differentielle : 



(1) '^y .= ^-^^- a laquelle il 



faut satisfaire pour une infinite de valeurs de [jl et de c. 

 Pour cet effet, posons j"^ =^ '^ ^=-4^^^ ~ n" ^" appelant 

 A' , D' les derivees par rapport a .r de A et D nous aurons : 

 'lLydy-=z- -— — -^. Mais le premier membre de I'e- 

 quation differentielle (1) peut etre mis sous la forme : 

 — ^ ^ ^ Si on substitue dans cette expression 



les valeurs de r^ et de^r. aron trouvera : , ( ^ ) 



•^ ^ ^ 2v/AD(A-D)(D-tM) 



qui doit devenir identique a ^' Mais le 



numerateur et le denominateur de I'expression (2) sont di- 

 visibles par x, et apres cette reduction le numerateur sera 

 du quatrieme degre ; il resulle que si on dispose des coef- 

 ficients indetermines , a , (3 , « , de telle sorte que D — A , 

 D— c^Asoient des carres; comme d'apres le lemme deM.Ja- 



