DE l'acaukmik dks sciences. 253 



tol)i , les facleurs simples de D — A, D — c^A, diviseiii 

 Ic mimcraleur, on en pourra conclme qu'avec ces coiidi- 



tions la nartie de I'expression (2) — :==^^==^ sera 

 une coiistante E el cette expression se reduira ii la rormule : 



^ii — a.v^){ct-\-/3x^) 



Or , nous avons D— A = a-|-x^ (p — \) -\- ax\ 

 D-c^A=a-}-x'^ (^ — c')-i-c-cix'. 



l*our que ces deu.v expressions soient des carres , il laul 

 que: (p— l)^=4a.a et ( p — c2)2 = 4ac^; d'oii on de- 

 diiit par la division [i = ±:r. L'livpothese ^^-\-c donne- 

 rait une Iransl'ormalion iniaginaire , qui peut avoir son 

 utilile analytique , mais que nous ne developperons pas 



actuellemenl. L'hypolhese pz= — c, donne a=z^ — j-^ , el 



par suile a. Avec ces valeurs, le premier membra de I'ex- 

 pression (2) devienl : 



dt 2 dx 



V/(,_..)((!+ll'_.,^",, + ,V(.-.-)(.-^r,.)' 



On voil done que, pour salisfaire a 1 equalion (1) par la 

 transformalion ralionnelle imaginee par Lagrange, il faut que 



le reculaleur u. soil eeal a - — ; — - et le module K a , — f-— . 



Celle maniere de presenter la transformalion modulaire 

 de Lagrange , a non-seulcment I'avanlage de ra|>proclier en 

 quelque sorle la melliode de ce grand geouielre, de celle de 

 M. Jacobi. Elle donne de plus ce corollaire Ires-simple : 



Si pour transformer I'expression ■■ nous 



v/('— .)•')( '-'"r') 



avions pose : >'•=: — ^ : ^^7\ (••)" 



