DE l'aCAOEMIE DES SCIENCES. 135 



cosinus (le tons les aulies ; le troisienie lenne est la somnie 

 (les prodiiits que Ton pent former en miiltiplianl les sinus de 

 cinq arcs par les cosinus de tons les autres; ainsi de suite. 

 Cette forniule est aisee a etablir en la supposant vraie pour 

 11 arcs et I'etendant au cas de n -\- 1 arcs. Si Ton developpe 

 par cette formule le second membre de Tequation (1), et 



qu'on remplace les sinus et cosinus de p, y, 5 par 



leurs valeurs en fonciion de sin a et de >^, X', V'...., on 

 Irouvera , en divisanl les deux membres par sin a, I'equation 

 suivante 



I =^'ks/{\.—-k'' sin^a)(i — X"=sin'a) 



.^xi — SXVV'sin-'av^^i— V"^sin^a)(i— V^^sin^a).... 



-|-2XVV'rT^'sin^av/(i— r^sin^a;(i— V'-sin'a)... 



On voit par la que la quantite sin^a depend d'une equation 

 algebrique ; la plus petite racine positive de cette equation 

 donnera la solution demandee. Cette solution existera tou- 

 jours pourvu que Ton ait K' -f-K"-|-K"' -}-••• >K, on bien 

 X-l-V+V' + ... > I. 



Appliquons I'equation (2) au cas oil le polygone a quatre 

 cotes. Elle devient 



i=:'Xv^(i— V^sin-'a)(i— V'-^sin=a) 

 +V v^(i— rsin'a)(i — V'^sin'a) 

 -f-VV(i— Vsin=a)(i— V^sin-^a) 

 -"XVV'sin'a, 

 ou bien 



I -f-XV V sin'a— ■Xv'(i — X"sin'a)(i — V'*sin^a) 

 =i);V(i — Vsin'^a)(;i — V'sin^a) 

 + V ^(i — Vsin'a)(i— V^sin'a). 

 Elevant les deux mendires au carre on oblient 



