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METHODE 



SUR LE DEVELOPPEMENT DES FONCTIONS : 

 Par M. E. BRASSLNNE. 



1" SupposoNS que /' (x) derivee d'une fonclion f{oc) soil 

 continue entre deux limiles quelconques a: et X , il est clair 



que si on considere I /' (x)</jc=:/(X)— /(x), la somme 



exprimee au premier membre sera egale a une certaine va- 

 leur de /'(j^) entre les limites xet X mullipliee par X — x, 

 soil y (jc-|-G), cette valeur de J'{x), on aura alors : 



/(X)-/(x)=(X-ar)/'(x + 6), 

 d'ou /(;X)=/(x)+(X-x)/'(x+6), (1) 



6 etant moindre que (X — jr), ou cgal a zero, on egal a 

 X — x\ toujours est-il certain que si \=zx, G=:o. En ap- 

 pliquant a/'(x-)-6), la relation (1), on trouvera que 



/'(.r + 6)=/'(x)+y"(x + 0').e.,(2), 



6' est plus petit ou lout au plus egal a 6; de la meme ma- 

 niere on posera 



y"(x+e')=/"(x)+/'"(x+6").6'...(3). 



D'ou en remontant etsubstituant, et designantX — xparO : 

 /■(x + e)= /(x)+/' (x).e4-/" (x).6.6' -f/"' (x).0.6' . 9" -f 



..._l_y{«)(x).9.e'"...e.('»— ) 



mais nous ferons remarquer que 8' , G", 6"' ... s'evanouissant 

 avec 6, 6' on pourra poser 0'=a.0, 6" = pe% e'"=Ye%... 



