DE l'aCAOENIE DES SCIENCES. 301 



a, p, Y etant des fonctions inconnues et variables avec 6. 

 De la il resultera 



/(^+6)=/(a:)4-/'(x).0^-/"(^)6^a^-/■'"(^) 6^a.^ 



Pour determiner les coefficients a, p de ce developpement, 



supposons qu'on I'applique a 



f'(x+^)=f (x)+/" (.r) . 6+/"' (x). e^a -|-/-(x)6^a p-}-; 



niais si on derive la premiere par rapport a , on devra , 

 puisque 6 est une variable quelconque, trouver un resultat 

 identique terme a terme, c'est-a-dire 



/' (^ +0)=/' (x)4-/"(^) ( 2 O.a + 6'a' )-f- 



+/'"(j:)C3 0^aP4-e3 



(IS 



Mais I'identite avec la fonction precedente exige que a:=- 

 et par suite a'z=o. De plus, 3 6^^ doit egaler 6"; par suite 

 P =r - . . . etc. ce qui donne le developpement connu avec 

 la limite qui termine la serie. 



Demonstration du theoreme de Burman sur le develop- 

 pement des fonctions implicites. 



Soit \ = ¥(u) et uz=.zf(z). Supposons que la seconde 

 relation donne ii-=zo lorsque 2 = 0. Supposons aussi que 

 Xr=F(/<), peut se developper par rapport aux puissances 

 ascendantes de u par le theoreme de Maclaurin , on aura , 

 d'apres la derniere hypolhese, 



(1) X=T4-T'.«+T".^+T"' ^+. . . 



1.2. 3. /I... 1 "^1.2.3. — m' 



